« Intégration de Riemann/Intégrale et primitives » : différence entre les versions

== Le Théorèmethéorème Fondamentalfondamental de l'Analyseanalyse : lien intégrale-primitives ==

| titre = [[w:Théorème Fondamentalfondamental de l'Analyseanalyse|Théorème fondamental de l'analyse]] ([[w:Gottfried Wilhelm Leibniz|Leibniz]]-[[w:Isaac Newton|Newton]])|contenu =

Soit <math>f</math> une fonction continue sur un intervalle <math>[a;,b]</math> <math>(a,b\in \R)</math>.

* La fonction <math>F : x \mapsto \int_a^x fxf(t)\,\mathrm{d}t dt</math> est '''l'unique primitive de <math>f</math> qui s'annule en <math>a</math>.'''

* On en déduit que pour toute primitive <math>F</math> de <math>f</math> :<center>{{Encadre|contenu=<math>\int_a^b fbf(x)\,\mathrm{d}x dx= [F(x)]_a^b = F(b) - F(a)</math>.}}</center>}}

* Dans la première partie du Théorèmethéorème, la variable <math>x</math> est la "« borne d’en haut" » de l'intégrale : c’est pour cela qu'on parle parfois de "« l'intégrale fonction de la borne d’en haut" ».

* Dans la deuxième partie du Théorèmethéorème, la primitive <math>F</math> choisie est quelconque et ce n’est pas nécessairement celle donnée dans la première partie.

* C'est ce Théorèmethéorème qui permet de montrer que toute fonction continue admet des primitives.

* Il est clair que <math>F</math> s'annule en <math>a</math> : <math>F(a) = \int_a^a faf(t)\,\mathrm{d}t dt= 0</math> .<br />Il faut montrer maintenant que <math>F</math> est bien une primitive de <math>f</math> , c'est-à-dire que <math>F'=f</math> ou encore (par [[Fonctions d'une variable réelle/Dérivabilité|définition de la dérivée]]) que<br /><math>\forall x_0 \in \R\quad\lim_{x\to x_0} \frac{F(x)-F(x_0)}{x-x_0} = f(x_0).</math><br />La relation de Chasles donne :<br /><math>\frac{F(x)-F(x_0)}{x-x_0}= \frac{1}frac1{x-x_0}\left(\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t dt- \int_a^{x_0} f(t)\,\mathrm{d}t dt\right)=\frac{1}frac1{x-x_0}\int_{x_0}^{x} fxf(t)\,\mathrm{d}t dt</math><br />donc :<br /><math>\frac{F(x)-F(x_0)}{x-x_0}-f(x_0)=\frac{1}frac1{x-x_0}\left(\int_{x_0}^{x} fxf(t)\,\mathrm{d}t dt-(x-x_0)f(x_0)\right)=\frac{1}frac1{x-x_0}\int_{x_0}^x\left(f(t)-f(x_0)\right)\,\mathrm{d}t dt.</math><br />Soit <math>\varepsilon>0</math>. Par continuité de <math>f</math> au point <math>x_0</math>, il existe <math>\eta>0</math> tel que<br /><math>\forall t\in[x_0-\eta,x_0+\eta]\quad|f(t)-f(x_0)|\le\varepsilon</math><br />donc tel que<br /><math>\forall x\in[x_0-\eta,x_0+\eta]\quad\left|\frac{F(x)-F(x_0)}{x-x_0}-f(x_0)\right|\le\frac{1}frac1{x-x_0}\int_{x_0}^x\left|f(t)-f(x_0)\right|\,\mathrm{d}t dt\le\varepsilon</math> : c’est précisément ce qu’il fallait démontrer.

* Soit <math>G</math> la primitive qui était désignée par <math>F</math> dans la première partie du Théorèmethéorème.<br />Alors <math>\int_a^b fbf(x)\,\mathrm{d}x dx= G(b) = G(b) - G(a)</math> puisque <math>G(a) = 0</math> .<br />Toute autre primitive <math>F</math> de <math>f</math> diffère de <math>G</math> par une constante <math>k\in \R</math> , donc <math>F(x) = G(x) + k \,\forall x \in [a;,b]\quad F(x)=G(x)+k</math> et :<br /><math>F(b)-F(a) = (G(b)+k)-(G(a)+k) = G(b)-G(a)= G(b) = \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x dx</math>, ce qui est le résultat annoncé.}}

# <math>\int_0^1 x1x^2\,\mathrm{d}x dx= \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1 =\frac{1^3}{3}-\frac{0^3}{3} = \frac13.</math>

# <math>\int_2^5 x5x^2 \,\mathrm dx=\left[\frac{x^3}3\right]_2^5=\frac{125}3-\frac83=\frac{117}3=39.</math>

# <math>\int_0^1\mathrm e^{2x} \,\mathrm{d}x dx= \left[\frac{1}{2}frac12\mathrm e^{2x}\right] = \frac{\mathrm e^2-1}2.</math>

On note <math>\int f(x)\,\mathrm dx</math>, l''''ensemble de toutes les primitives de <math>f</math> sur l'intervalle <math>I</math>'''.

Donc, si <math>F</math> est une primitive de <math>f</math> sur <math>I</math> : <math>\int f(x)\,\mathrm dx = \{x\mapsto F(x)+k |\mid k\in \R\}.</math>