« Fonction logarithme/Exercices/Étude d'une fonction comprenant un logarithme » : différence entre les versions

Dans tout le problème, <math>I
</math> désigne l'intervalle <math>]0,+\infty [</math>.

Soit <math>g
</math> la fonction définie par pour tout <math>x \in I,~g(x)=x^2+6-4\ln(x)</math>.

On admet que le tableau de variation de <math>g
</math> est le suivant :

'''2.''' En déduire que <math>g</math> est une fonction positive sur l'intervalle <math>I</math>.

Soit <math>f</math> la fonction définie par pour tout <math>x\in I,</math> par<math>~f(x)=\frac x4 -\frac 1{2x}+ \frac{\ln(x)}x</math>

'''1.''' On note <math>f'</math> la fonction dérivée de la fonction <math>f</math> sur l'intervalle <math>I</math>, et <math>\mathcal C</math> la courbe représentative de la fonction <math>f</math> dans un repère orthonormal d'unité graphique {{Unité|4|{{Abréviation|cm|centimètre}}}}.

:'''a.''' Étudier la limite de <math>f</math> en <math>+\infty</math>.

:'''b.''' Étudier la limite de <math>f</math> en 0 et en déduire l’existence d'une asymptote à la courbe <math>\mathcal{C}</math>.

:'''c.''' Montrer que pour tout réel <math>x</math> de l'intervalle <math>I</math>, <math>f'(x)=\frac{g(x)}{4x^2}</math>

:'''d.''' Déduire de la partie A le signe de <math>f'(x)</math> pour tout <math>x\in I</math> puis le sens de variation de <math>f</math> sur l'intervalle <math>I</math>.

:'''e.''' Faire le tableau de variations de la fonction <math>f</math> sur l'intervalle <math>I</math>.

:'''c.''' Sur l'intervalle <math>I</math>, déterminer la position de la courbe <math>\mathcal C</math> par rapport à la droite <math>\mathcal D</math>.

'''4.''' On considère la fonction <math>h</math> définie sur l'intervalle <math>I</math> par pour tout <math>x\in I,~h(x)=-\frac1{2x}+\frac{\ln(x)}{x}</math>

:'''a.''' En remarquant que <math>\frac{\ln(x)}x</math> est de la forme <math>u'(x)~u(x)</math>, déterminer une primitive de la fonction <math>h</math>, que l’on notera <math>H</math>.