« Barycentre/Travail pratique/Théorème de l'associativité du barycentre » : différence entre les versions
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== Cas de trois points pondérés ==
{{théorème|contenu=
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Soient :
*A,B et C trois points de l'espace
*G le barycentre du système de points pondérés {(A,1);(B,2)
*H le milieu de [AC]
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== Généralisation à n points pondérés ==
{{théorème|contenu=
Soient <math>A_1, A_2, ..., A_n</math> n points de l'espace.
Soient <math>(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n)</math>n réels et <math>k \in \{1,2,...,n\}</math> tel que
*<math>\sum_{i=1}^n \alpha_i \not = 0</math>
*<math>\sum_{i=1}^k \alpha_i \not = 0</math>
Soient:
*G le barycentre du système de points pondérés <math> \{ (A_1,\alpha_1); (A_2,\alpha_2); \cdots ;(A_n,\alpha_n) \}</math>
*H le barycentre du système de points pondérés <math> \{ (A_1,\alpha_1); (A_2,\alpha_2); \cdots ;(A_k,\alpha_k) \}</math>
Alors '''G le barycentre du système de points pondérés <math> \left \{ \left (H,\sum_{i=1}^k \alpha_i \right );(A_{k+1},\alpha_{k+1}); \cdots ;(A_n,\alpha_n) \right \}</math>'''
}}
{{exemple|contenu=
Soient :
*A,B,C,D et E cinq points de l'espace
*G le barycentre du système de points pondérés {(A,1);(B,2);(C,-3);(D,1);(E,-2)} (qui existe car <math>1+2-3+1-2 \not = 0</math>)
*H le barycentre du système de points pondérés {(B,2);(D,1);(E,-2)} (qui existe car <math>2+1-2 \not = 0</math>)
Alors le théorème de l'associativité du barycentre assure que G est le barycentre du système de points pondérés {(A,1);(C,-3);(H,1)}
}}
[[Catégorie:Barycentre]]
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