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== Définitions ==
La notion générale de suite de Cauchy dans à valeurs dans un [[Topologie générale/Espace métrique|espace métrique]] se particularise à un evn ''E'', avec la définition suivante :
 
{{Définition
| titre = Définition : Suite de Cauchy
| contenu =
Une '''suite''' <math>(u_n)</math> d'éléments de <math>''E</math>'' est dite '''une suite de Cauchy''' si, et seulement si :<br />
<center>{{Encadre|contenu=<math>\forall \varepsilon > 0 ,\; quad\exist n_{\varepsilon} n\in\N| \quad\forall (np,p)q\in\N^2\quad p, n q\ge n_{\varepsilon} n\Rightarrow \|u_{n+p} u_q- u_nu_p\| < \varepsilon</math> .}}</center>
}}
 
Voici une propriété vraie dans tout evnespace métrique et qu'on démontre comme dans <math>\R</math> :
 
{{Propriété
| contenu = Toute suite convergente est de Cauchy.
}}
 
| titre = Définition : Espace de Banach
| contenu =
* Un evn est ''E'' dit '''complet''' si, etdans seulement si''E'', toute suite de Cauchy y est convergente.
* On appelle '''espace de Banach''' tout espace vectoriel normé complet.
}}
 
Pour toute série convergente à valeurs dans un evn, on a une majoration de la norme de la somme (par passage à la limite dans la majoration évidente des normes des sommes partielles) :
:<math>\left\|\sum_{n=0}^{+\infty}x_n\right\|\le\sum_{n=0}^{+\infty}\|x_n\|</math>,
mais ce majorant peut être <math>+\infty</math>.
:Une série à valeurs dans un evn ''E'' est dite « absolument convergente » si elle vérifie : <math>\sum\|x_n\|<+\infty</math>.
Cette appellation est trompeuse car — contrairement au cas où ''E'' est de dimension finie — si ''E'' est un evn quelconque, une telle série ne converge pas nécessairement dans ''E'' ; l'implication qu'elle sous-entend est en fait une caractérisation des espaces de Banach :
 
{{Propriété|titre=Caractérisation|contenu=
Un evn ''E'' est complet si et seulement si, dans ''E'', toute série absolument convergente est convergente.
}}
{{Démonstration déroulante|contenu=
*Supposons que ''E'' est complet. Soit, dans ''E'', une série absolument convergente, de terme général <math>x_n</math>. Alors, la suite de ses sommes partielles <math>S_n:=\sum_{k=0}^nx_k</math> est de Cauchy, car pour <math>q>p\ge n</math>, <math>\left\|S_q-S_p\right\|=\left\|\sum_{k=p+1}^qx_k\right\|\le\sum_{k=p+1}^q\left\|x_k\right\|\le\sum_{k=n+1}^{\infty}\left\|x_k\right\|\to0</math> quand <math>n\to\infty</math>. Par conséquent, ''E'' étant complet, la suite <math>(S_n)</math> — et donc la série de terme général <math>x_n</math> — est convergente.
*Réciproquement, supposons que dans ''E'', toute série absolument convergente est convergente et considérons une suite de Cauchy <math>(x_n)</math>. Elle admet alors une [[Approfondissement sur les suites numériques/Suites extraites|sous-suite]] <math>(s_n)</math> telle que <math>\left\|s_{n+1}-s_n\right\|\le2^{-n}</math>. La série de terme général <math>s_{n+1}-s_n</math> est absolument convergente donc (par hypothèse sur ''E'') convergente, autrement dit la sous-suite <math>(s_n)</math> converge, [[w:Suite de Cauchy#Propriétés|donc la suite de Cauchy <math>(x_n)</math> aussi]], ce qui prouve que ''E'' est complet.<br />Ou encore (par [[Implication et équivalence/Contraposées|contraposition]]) : si ''E'' n'est pas complet, soient <math>S</math> un vecteur qui n'appartient pas à ''E'' mais seulement à son [[w:Espace vectoriel normé#Complétude|complété]] et <math>(S_n)</math> une suite dans ''E'' telle que <math>\left\|S-S_n\right\|\le2^{-n}</math>, alors la série de terme général <math>S_{n+1}-S_n</math> est absolument convergente, mais sa somme dans le complété, <math>S-S_0</math>, n'appartient pas à ''E''.
}}
 
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