« Topologie générale/Espace topologique » : différence entre les versions

Premier exemple : l’ensemble des suites réelles <math>\mathbb R^n</math> est un espace vectoriel. On peut définir une topologie en décrétant que <math>O \subset \mathbb R^n</math> est ouvert si, pour toute suite <math>(x_n) \in O</math>, il existe <math>\epsilonvarepsilon>0</math> tel que toute suite <math>(y_n)</math> vérifiant <math>\forall n \in \N, |x_n - y_n| < \epsilonvarepsilon</math> est dans <math>O</math>. Cette topologie se nomme '''topologie de la convergence uniforme'''.

Autre exemple : l’ensemble <math>\mathcal C^0(I, \mathbb R)</math> des fonctions continues d’un intervalle compact <math>I</math> à valeurs dans <math>\mathbb R</math> est un espace vectoriel. On peut définir une topologie sur cette espace en décrétant que <math>O \subset \mathcal C^0(I, \mathbb R)</math> est ouvert si pour toute fonction <math>f \in O</math>, il existe <math>\epsilonvarepsilon>0</math> tel que toute fonction <math>g \in \mathcal C^0(I, \mathbb R)</math> vérifiant <math>|f(x)-g(x)|<\epsilonvarepsilon</math> pour tout <math>x \in I</math>, est dans <math>O</math>. Cette topologie s’appelle encore '''topologie de la convergence uniforme'''.