« Topologie générale/Espace métrique » : différence entre les versions
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m →Propriétés : Corrections LaTeX |
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| contenu =
Soit <math>A</math> une partie d’un espace métrique <math>(E,d)</math>
alors : <math>A</math> est ouvert si et seulement si <math>\forall x \in A, \exists \rho > 0
}}
{{démonstration
|contenu = Supposons <math>A</math> ouvert, on peut donc écrire <math>A = \bigcup_{ i\in I} \mathcal{B} (c_i, r_i) </math>.
Soit <math>x \in A </math>, il existe donc <math>i\in I</math> tel que <math>x\in \mathcal{B} (c_i, r_i) </math>,
posons alors <math>r = r_i - d(c_i, x) > 0</math> alors <math> \mathcal{B} (x, r) \subset A</math>.
En effet, soit <math>y \in \mathcal{B} (x, r)</math>, alors <math>d(y,c_i) <= d(x, c_i) + d(x, y) < r + d(x, c_i) < r_i </math>▼
<math>\mathcal{B} (x, r) \subset \mathcal{B} (c_i, r_i) \subset A </math>. On a donc bien la propriété recherchée.▼
▲En effet, soit <math>y \in \mathcal{B} (x, r)</math>, alors <math>d(y,c_i)
Réciproquement, supposons qu'A vérifie la propriété précédente. On a alors évidemment <math> A = \bigcup_{x\in A} \mathcal{B} (x, r_x) </math>, ce qui montre qu'A est ouvert.▼
▲et <math>y\in \mathcal{B} (c_i, r_i)</math>. D'où <math>\mathcal{B} (x, r) \subset \mathcal{B} (c_i, r_i) \subset A </math>. On a donc bien la propriété recherchée.
▲Réciproquement, supposons
}}
Ligne 66 :
}}
C'est une conséquence directe de la propriété précédente sur les ouverts.
== Exemples ==
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