« Topologie générale/Espace métrique » : différence entre les versions
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==Complétude==
{{Définition|contenu=
*Une '''suite''' <math>(u_n)</math> dans un espace métrique <math>(E,d)</math> est dite '''de [[w:Augustin Louis Cauchy|Cauchy]]''' si<center><math>\forall\varepsilon>0\quad\exists N\in\N\quad\forall p,q\ge N\quad d(u_p,u_q)\le\varepsilon</math>,</center>autrement dit si<center><math>\lim_{n\to\infty}\sup_{m\ge n}d(u_m,u_n)=0</math>.</center>
*Un '''espace métrique''' est dit '''complet''' si, dans cet espace, tout suite de Cauchy converge.
}}
{{Proposition|titre=Propriétés|contenu=
Dans tout espace métrique :
#toute sous-suite d'une suite de Cauchy est elle-même de Cauchy ;
#toute suite de Cauchy est bornée ;
#une suite est convergente si (et seulement si) elle est de Cauchy et possède une sous-suite convergente ;
#l'image d'une suite de Cauchy par une application uniformément continue est de Cauchy.
}}
{{Démonstration déroulante|contenu=
Soit <math>u</math> une suite de Cauchy.
#Immédiat en utilisant que si <math>(u_{n_k})_k</math> est une sous-suite de <math>(u_n)_n</math> alors <math>n_k\ge k</math>.
#Il existe <math>N</math> tel que <math>\forall m\ge N\quad d(u_m,u_N)\le1</math> donc la suite est bornée (« à partir du rang <math>N</math> » donc à partir du rang <math>0</math>, quitte à remplacer <math>1</math> par son max avec <math>N</math> réels).
#Si <math>u</math> possède une valeur d'adhérence <math>\ell</math> alors <math>u</math> converge vers <math>\ell</math> car pour tout <math>\varepsilon>0</math>, il existe <math>N</math> tel que <math>\forall p,q\ge N\quad d(u_p,u_q)\le\varepsilon</math> et <math>\exists q\ge N</math> tel que <math>d(u_q,\ell)<\varepsilon</math> donc <math>\forall p\ge N, d(u_p,\ell)<2\varepsilon</math>.
#Immédiat.}}
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