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« Topologie générale/Espace topologique » : différence entre les versions

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→‎Exemples classiques d'espaces topologiques : transfert d'une bribe d'un chapitre qui ne mérite pas d'exister
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Tout ensemble E peut être muni de la topologie grossière : <math>\mathcal\Tau = \{\emptyset, E\}</math>. Il est facile de vérifier que cela définit bien une topologie. C’est celle qui contient le moins d'ouverts possible.
}}
 
{{Exemple
| titre = Exemple : Topologie discrète
Ligne 74 ⟶ 73 :
Tout ensemble E peut être muni de la topologie discrète : <math>\mathcal\Tau = \mathcal P(E)</math>. E est appelé espace discret. Dans ce cas, toutes les parties de E sont ouvertes : on dit qu'E est '''''discret'''''. Cela correspond intuitivement au cas où tous les points de E sont isolés et indépendants les uns des autres. En anticipant sur la suite, les seules suites convergentes dans un espace discret sont les suites stationnaires.
}}
 
{{Exemple
| titre = Exemple : Ensemble des réels
| contenu =
L'exempleDans suivantla leconstruction plusdes intéressantensembles est celuiclassiques de nombres, l’ensemble <math>\mathbb R</math> des nombres réels. En effet, dans la construction des ensembles classiques de nombres, <math>\mathbb R</math> est le premier ensemble à être défini en utilisant des notions de topologie, en « complétant » <math>\mathbb Q</math>.
La définition de la topologie sur <math>\mathbb R</math> est la suivante : <math>O \subset \mathbb R</math> est ouvert si pour tout <math>x \in O</math>, il existe <math>\varepsilon>0</math> tel que <math>\left]x-\varepsilon, x+\varepsilon\right[ \subset O</math>.
 
De même, <math>\mathbb R^n</math> est un espace topologique, et l’on dit que <math>O \subset \mathbb R^n</math> est ouvert si pour tout <math>x \in O</math>, il existe <math>\varepsilon>0</math> tel que <math>\left]x_1-\varepsilon, x_1+\varepsilon\right[ \times \cdots \times \left]x_n-\varepsilon, x_n+\varepsilon\right[ \subset O</math>.
Ce n’est pas la seule manière de définir une topologie sur cetl'ensemble espace<math>\R</math>, mais toutes les manières à peu près « raisonnables » (c'est-à-dire telles que la topologie dérive d’une norme) définissent la même topologie.
}}▼
 
Cet exemple est fondamental car il forme le cadre dans lequel on commence à faire de l'analyse, avec l'étude des fonctions réelles à valeurs dans <math>\mathbb R^n</math>, ou celles des fonctions de <math>\mathbb R^p</math> dans <math>\mathbb R^n</math> (calcul différentiel).▼
 
▲Cet exemple est fondamental car il forme le cadre dans lequel on commence à faire de l'analyse, avec l'étude des fonctions réelles à valeurs dans <math>\mathbb R^n</math>, ou celles des fonctions de <math>\mathbb R^p</math> dans <math>\mathbb R^nq</math> ([[calcul différentiel]]).
▲}}
{{Exemple
| titre = Exemple : Topologie induite
| contenu =
Soit <math>X</math> une partie d'un espace topologique <math>E</math>. Les '''traces''' sur <math>X</math> des ouverts de <math>E</math>, c'est-à-dire les ensembles de la forme <math>X \cap O</math> où <math>O</math> est un ouvert de <math>E</math>, constituent une topologie sur <math>X</math> appelée '''topologie induite'''. L'ensemble <math>X</math>, muni de cette topologie, est appelé un sous-espace (topologique) de <math>E</math>.
{{Attention
|
Un ouvert pour la topologie induite sur <math>X</math> n’est pas nécessairement un ouvert de <math>E</math>.
Par exemple, <math>X=X\cap E</math> est toujours un ouvert du sous-espace <math>X</math> mais n'est pas toujours un ouvert de <math>E</math>.
}}
}}
{{Exemple
| titre = Exemple : Topologie de la convergence uniforme
| contenu =
L’analyse fonctionnelle, quant à elle, a pour cadre les espaces fonctionnels, qui sont des espaces vectoriels de dimension infinie, munis d’une topologie. Ils sont de dimension infinie car ce sont généralement des ensembles de fonctions.
Premier exemple : l’ensemble des suites réelles <math>\mathbb R^n</math> est un espace vectoriel. On peut définir une topologie en décrétant que <math>O \subset \mathbb R^n</math> est ouvert si, pour toute suite <math>(x_n) \in O</math>, il existe <math>\varepsilon>0</math> tel que toute suite <math>(y_n)</math> vérifiant <math>\forall n \in \N, |x_n - y_n| < \varepsilon</math> est dans <math>O</math>. Cette topologie se nomme '''topologie de la convergence uniforme'''.
Ce n’est pas la seule manière de définir une topologie sur cet espace.
}}
 
Autre exemple : l’ensemble <math>\mathcal C^0(I, \mathbb R)</math> des fonctions continues d’un intervalle compact <math>I</math> à valeurs dans <math>\mathbb R</math> est un espace vectoriel. On peut définir une topologie sur cette espace en décrétant que <math>O \subset \mathcal C^0(I, \mathbb R)</math> est ouvert si pour toute fonction <math>f \in O</math>, il existe <math>\varepsilon>0</math> tel que toute fonction <math>g \in \mathcal C^0(I, \mathbb R)</math> vérifiant <math>|f(x)-g(x)|<\varepsilon</math> pour tout <math>x \in I</math>, est dans <math>O</math>. Cette topologie s’appelle encore '''topologie de la convergence uniforme'''.
 
Il est utile de noter la similitude entre toutes ces définitions de topologies : elles sont tout à fait généralisables.
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