« Topologie générale/Continuité et homéomorphismes » : différence entre les versions

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Sous les hypothèses de la définition :
*<math>\ell</math> est nécessairement adhérent à <math>f(A)</math> ;
*si <math>Y</math> est séparé et si une telle limite existe alors elle est unique, ce quilégitime renddans alorsce légitimecas la notation <math>\lim_af=\ell</math>.
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Pour tout voisinage <math>W</math> de <math>a</math>, <math>f(W\cap A)</math> est inclus dans <math>f(A)</math> et (puisque <math>a\in\overline A</math>) non vide, donc :
*pour tout voisinage <math>V</math> de <math>\ell</math>, <math>V\cap f(A)</math> est non vide ;
*pour tous voisinages respectifs <math>V_1</math> et <math>V_2</math> de deux limites <math>\ell_1</math> et <math>\ell_2</math>, <math>V_1\cap V_2</math> est non vide car(ce qui, si l'espace est séparé, prouve que <math>\ell_1=\ell_2</math>). En effet, il contientexiste undeux voisinages <math>W_1</math> et <math>W_2</math> de <math>a</math> tels que <math>f(WW_i\cap A)\subset V_i</math> avec; leur intersection <math>W=W_1\cap W_2</math> (intersectionest dealors deux)un voisinage(s) de <math>a</math> (donc <math>f(W\cap A)\ne\varnothing</math>) et <math>f(W\cap A)\subset{V_1\cap V_2}</math>.
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