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La définition et les propriétés de limite d'une fonction que nous venons de voir s'appliquent en particulier aux fonctions définies sur <math>\N</math>, c'est-à-dire aux suites.
La définition que nous venons de voir des espaces topologiques a pour but de permettre de formaliser des notions de "proximité" (voisinages) et donc de limite.
C'est pourquoi on peut définir de nombreuses propriétés sur les suites d'un espace topologique.
== Définition ==
Soit <math>E</math> un ensemble (non vide). Une '''suite''' dans E est une application <math>u : \mathbb N \to E</math>, c'est-à-dire une famille d'éléments de E indexée par <math>\mathbb N</math>. On la note souvent <math>(u_n)_{n\in \mathbb N}</math> ou même, s'il n'y a pas d'ambiguïté quant aux indices, simplement <math>(u_n)</math>.
On note parfois <math>E^{\mathbb N}</math> l’ensemble des suites d'éléments de <math>E</math>.
Soient <math> (E, \mathcal { T }) </math> un espace topologique et <math>(u_n)</math> est une suite d'éléments de <math>E</math>. ▼== Limite et adhérence == ▼
▲== Limite etd'une adhérencesuite ==
▲Soient <math> (E, \mathcal{T}) </math> un espace topologique et <math>(u_n)</math> une suite d'éléments de <math>E</math>.
=== Limite d'une suite et espaces séparés ===
{{définition
| titre = Limite d'une suite
| contenu = Soit <math>l\ell\in E</math>,. onOn dit que la suite <math>l(u_n)</math> esta pour limite <math>\ell</math> si, pour tout voisinage <math>V</math> de la<math>\ell</math>, suiteil existe un entier <math>N</math> tel que <math>\forall n\ge N\quad f(u_n)\in V</math> si :.
<math>\forall U \in \mathcal{V}(l), \exists N \in \mathbb{N} \text{ tq } n \geq N \Rightarrow u_n \in U</math>
}}
On constate que cette définition est un cas particulier de celle de limite d'une fonction en un point adhérent à son domaine de définition, ce point étant ici <math>+\infty</math>, adhérent à <math>\N</math> dans [[../Ordre#Topologie de l’ordre|ℕ ∪ {+∞} muni de la topologie de l'ordre]]. Par conséquent :
{{définition
| titre = Espace topologique séparé
| contenu = On dit que l'espace topologique <math> (E, \mathcal{T}) </math> est séparé si deux point distincts possèdent deux voisinages disjoints.
C'est-à-dire si : <math>\forall (a,b)\in E^2 \text{ tq } a\neq b, \exists (U, V) \in \mathcal{V}(a)\times\mathcal{V}(b) \text{ tq } U\cap V = \empty </math>
}}
{{Corollaire
{{propriété
| contenu =
| titre = Unicité de la limite
| contenu = #Si <math> (E, \mathcal{T}) ell</math> est séparé,limite touted'une suite admetà auvaleurs plusdans une limitepartie <math>A</math> de <math>E</math>, alors <math>\ell\in\overline A</math>.
#La réciproque est vraie si <math>\ell</math> admet une base dénombrable de voisinages.
#Dans un espace séparé, toute suite admet au plus une limite.
}}
Nous verrons au prochain chapitre que tout espace métrique est séparé et à bases dénombrables de voisinages.
== = Valeurs d'adhérence d'une suite === ▼{{démonstration
| contenu = Soient <math>l</math> et <math>l'</math> deux limites de <math>(u_n)</math><br />
Si <math>l</math> et <math>l'</math> étaient différents, on aurait deux voisinages disjoints <math>U</math> et <math>V</math> et donc deux entiers <math>N</math> et <math>N'</math> tels que :<br />
<math>\forall n>N, u_n \in U </math> et <math>\forall n>N', u_n \in V </math><br />
ce qui donnerait <math>\forall n>\max(N, N') , u_n \in U\cap V </math>ce qui est absurde<br />
d'où <math>l=l'</math>
}}
▲=== Valeurs d'adhérence d'une suite ===
{{Définition
# Soit <math>a</math> une valeur d'adhérence de <math>(u_{n})</math>, et <math>U\in \mathcal{V}(a)</math>, la définition nous assure bien que <math>\forall n\in\mathbb{N} , X_n \cap U \neq \empty</math><br />Donc <math>\forall n \in \mathbb{N}, a\in \overline{X_n}</math> et <math>a\in\bigcap_{n\in\mathbb{N}} \overline{X_n}</math><br />Réciproquement soit <math>a\in\bigcap_{n\in\mathbb{N}} \overline{X_n}</math> et <math>U\in \mathcal{V}(a)</math>, donc <math>\forall n \in \mathbb{N}, X_n\cap U \neq \empty</math> et <math>a</math> est bien valeur d'adhérence.
}}
===Non-caractérisation séquentielle des fermés ===
{{Propriété
| contenu = Soit <math>A\in\mathcal{P}(E)</math> et soit <math>(u_n)</math> une suite '''convergente''' d'éléments de A, alors <math>\lim_{n\to\infty} u_n \in \overline A</math>
}}
{{Démonstration
| contenu = Posons <math>l = \lim_{n\to\infty} u_n </math> et soit <math>U\in\mathcal{V}(l)</math> alors <math>U\cap A \neq \empty</math>.
En effet, <math>\exists N \geq 0 , n>N \Rightarrow u_n \in U\cap A</math>. On a donc bien <math>l \in \overline A</math>
}}
La réciproque est fausse en général, c'est-à-dire qu'un élément de <math>\overline A</math> n'est pas nécessairement limite d'une suite d'éléments de <math>A</math>.
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