« Topologie générale/Suites » : différence entre les versions

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Soient <math>(E,\mathcal T)</math> un espace topologique et <math>(u_n)</math> est une suite d'éléments de <math>E</math>.
 
{{clr}}
 
== Limite d'une suite ==
La notion de [[Approfondissement sur les suites numériques/Convergence|limite (finie ou infinie) d'une suite de réels]] se généralise naturellement aux suites à valeurs dans un espace topologique qui n'est plus nécessairement la [[Topologie générale/Ordre#Topologie de l’ordre|droite réelle achevée]] :
{{définition
{{Définition| titrecontenu = {{Wikipédia|Limite d'une suite }}
| contenu =Soit <math>\ell\in E</math>. On dit que la suite <math>(u_n)</math> a pour limite <math>\ell</math> si, pour tout voisinage <math>V</math> de <math>\ell</math>, il existe un entier <math>N</math> tel que <math>\forall n\ge N\quad f(u_n)\in V</math>.
}}
 
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==Valeurs d'adhérence d'une suite==
{{Définition|contenu ={{Wikipédia|Valeur d'adhérence}}
 
|contenu = Soit <math>a\in E</math>, on dit que <math>a</math> est une valeur d'adhérence de la suite <math>(u_n)</math> si et seulement si tout voisinage de a contient une infinité de termes de la suite
{{Définition
| contenu:pour =tout Soitvoisinage <math>a\in EV</math>, on dit quede <math>a</math>, estil valeurexiste une infinité d'adhérenceindices de<math>n</math> latels suiteque <math>(u_n)\in V</math> si :,
ou plus formellement :
:<math>\forall U V\in \mathcal{ V}(a), \quad\forall N \geq 0, in\N\quad\exists n\geqge N \text{ tq }quad u_n \in UV</math>.
}}
Cette définition revient à dire qu’il existe une infinité de termes de la suite se trouvant au voisinage de <math>a</math>
 
{{Définition
| titre = Formulation équivalente
|contenu = Soit <math>a\in E</math>, <math>a</math> est valeur d'adhérence de la suite <math>(u_n)</math> si et seulement si tout voisinage de a contient une infinité de termes de la suite
}}
{{Propriété
| titre = Propriétés
| contenu =
# UneToute limite d'une suite est nécessairementune valeur d'adhérence de cette suite.
# Toute valeur d'adhérence d'une sous-suite de <math>(u_n)</math> est une valeur d'adhérence de la suite initiale<math>(u_n)</math>.
# L'ensemble des valeurs d'adhérence estde un fermé :<br math>(u_n)</math>en notantest égal à <math>\forall bigcap_{n \in \mathbb{N}, X_n = \overline{x_k,\{u_k\mid k\geq n \} }</math>, cet ensemble. C'est endonc effetun égal à <math>\bigcap_{n\in\mathbb{N}} \overline{X_n}</math>fermé.
}}
{{Démonstration
| contenu =
# En effet, pour tout voisinage <math>UV</math> de <math>l\ell</math>, il existe un indice à partir duquel tous les termes de la suite sont éléments de <math>UV</math>,<br /> ce qui prouve que <math>l</math> est valeur d'adhérence.
# En effet, si <math>a</math> est valeur d'adhérence d'une suite extraite <math>(u'_{n}_n)</math>, tout voisinage de <math>a</math> contient une infinité de termes de <math>(u'_{n}_n)</math> et donc de <math>(u_{n}u_n)</math>, ce qui prouve que <math>a</math> est valeur d'adhérence de <math>(u_{n}u_n)</math>.
# Soit <math>a</math> une valeur d'adhérence de <math>(u_{n})</math>, et <math>UV\in \mathcal{ V}(a)</math>, la définition nous assure bien que <math>\forall n\in\mathbb{N} ,\quad X_n \cap U \neq \emptyV</math> est non vide.<br />Donc <math>\forall n \in \mathbb{N},\quad a\in \overline{X_n}</math> et <math>a\in\bigcap_{n\in\mathbb{N}} \overline{X_n}</math><br />Réciproquement soit <math>a\in\bigcap_{n\in\mathbb{N}} \overline{X_n}</math> et <math>U\in \mathcal{V}(a)</math>, donc <math>\forall n \in \mathbb{N}, X_n\cap U \neq \empty</math> et <math>a</math> est bien valeur d'adhérence.
}}