« Topologie générale/Espace métrique » : différence entre les versions

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La notion d''''espace métrique''' est historiquement la première structure topologique, bien que formellement, la notion d'[[../Espace topologique|espace topologique]], plus vaste mais plus abstraite, soit traitée prioritairement dans cet exposé de topologie. La définition d’un espace métrique est proche de l'intuition, puisque les propriétés topologiques de ces espaces ne sont pas directement définis à partir d’un ensemble d'ouverts, appelé topologique, mais à partir d’une application nommée distance, ou métrique, qui permet de donner un rôle plus important à l'intuition géométrique.
 
== DéfinitionsDéfinition et exemples==
{{Définition|contenu=
{{Wikipédia|Distance (mathématiques)|Distance}}
| titre = Définition : Espace métrique
{{Wikipédia|Espace métrique}}
| contenu =
Soit <math>E</math> un ensemble. Une application <math>d : E \times E \to \R_+</math> est appelée '''distance''' sur <math>E</math>, ou '''métrique''' sur <math>E</math> si les points suivants sont vérifiés :
 
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}}
 
==Boules==
{{Définition
{{Définition|contenu={{Wikipédia|Boule (topologie)|Boule}}
| titre = Définition : Boules (ouvertes et fermées)
| contenu =
Soit <math>(E,d)</math> un espace métrique, soient <math>c\in E</math> et <math>r\in\R_+^*</math>. On appelle :
* '''boule ouverte de centre <math>c</math> et de rayon <math>r</math>''' l’ensemble <math>B(c,r)=\{x\in E\mid d(x,c)<r\}</math> ;
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}}
 
==Propriétés des boules ouvertes==
{{Lemme|contenu=
Toute boule ouverte contenant un point <math>x</math> contient une boule ouverte centrée en <math>x</math>.
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==Continuité uniforme==
{{Wikipédia|Continuité uniforme}}
{{...}}