« Topologie générale/Espace métrique » : différence entre les versions
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Considérer par exemple (exercice) les boules et la topologie associées à une distance discrète.
Dans un espace métrique, tout point a une base dénombrable de voisinages. Plus précisément :
{{Proposition
| titre = Voisinages d’un point
| contenu=Toute suite de boules ouvertes centrées en <math>x</math> et dont le rayon tend vers <math>0</math> constitue une [[Topologie générale/Bases#Base de voisinages|base de voisinages]] de <math>x</math>.
}}
C'est une conséquence directe du lemme ci-dessus. En l'affinant un peu, on démontre même (exercice) que toute suite de boules ouvertes ''contenant'' <math>x</math> et dont le rayon tend vers <math>0</math> constitue une base de voisinages de <math>x</math>.
Dans un espace topologique, nous avons vu que pour toute limite d'une sous-suite d'une suite <math>(u_n)</math> est une valeur d'adhérence de <math>(u_n)</math>. Dans un espace métrique, la réciproque est vraie :
{{Proposition|titre=Valeurs d'adhérence d'une suite|contenu=
Dans un espace métrique, les valeurs d'adhérence d'une suite sont les limites de ses sous-suites convergentes.
}}
==Continuité uniforme==
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