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« Topologie générale/Complétude » : différence entre les versions

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=== Propriétés ===
{{Proposition|titre=Propriétés|contenu=
Dans tout espace métrique :
#toute sous-suite d'une suite de Cauchyconvergente est elle-même de Cauchy ;
#toute suite de Cauchy est bornée ;
#unetoute sous-suite estd'une convergentesuite side (etCauchy seulement si)est elle est-même de Cauchy et possède une sous-suite convergente ;
#l'image d'une suite de Cauchy para au plus une applicationvaleur uniformémentd'adhérence continueet estsi deelle Cauchyen a une, alors elle converge.
#Toute application ''f'' uniformément continue est [[w:Continuité de Cauchy|Cauchy-continue]], c'est-à-dire que l'image par ''f'' d'une suite de Cauchy est de Cauchy.
#Dans l'espace des suites bornées à valeurs dans un espace métrique ''E'', muni de la [[w:Convergence uniforme|distance uniforme]], les suites de Cauchy forment un fermé ; si ''E'' est un [[Espaces vectoriels normés|espace vectoriel normé]], ce fermé est un [[Espace vectoriel/Définitions#Sous-espace vectoriel|sous-espace vectoriel]] de l'espace des suites bornées ; si ''E'' est une [[w:Algèbre normée|algèbre normée]], ce sous-espace est une [[w:Sous-anneau|sous-algèbre]] de l'algèbre des suites bornées.
}}
 
{{Démonstration déroulante|contenu=
#Supposons que <math>x_n\to\ell</math>, c'est-à-dire que pour tout <math>\varepsilon>0</math>, il existe un entier <math>N</math> tel que <math>\forall n\ge N\quad d(x_n,\ell)<\varepsilon</math>. Alors, <math>\forall q\ge N\quad d(x_N,x_q)\le d(x_N,\ell)+d(\ell,x_q)<2\varepsilon</math>. La suite <math>(x_n)</math> est donc bien de Cauchy.
Soit <math>u</math> une suite de Cauchy.
#Soit <math>(x_n)</math> une suite de Cauchy. Appliquons la définition pour <math>\varepsilon=1</math>. Il existe un entier <math>N</math> tel que <math>\forall q\ge N\quad d(x_N,x_q)<1</math>. Posons <math>R=\max\left(1,d(x_N,x_0),d(x_N,x_1),\ldots,d(x_N,x_{N-1})\right)</math>. Alors, l'ensemble des termes de la suite est inclus dans la boule fermée de centre <math>x_N</math> et rayon <math>R</math>. Par conséquent, il est borné.
#Immédiat en utilisant que si <math>(u_{n_k})_k</math> est une sous-suite de <math>(u_n)_n</math> alors <math>n_k\ge k</math>.
#IlImmédiat existeen <math>N</math>utilisant telque quesi <math>\forall m\ge N\quad d(u_m,u_Nx_{n_k})\le1_k</math> doncest laune sous-suite est bornée (« à partir du rangde <math>N(x_n)_n</math> » donc à partir du rangalors <math>0</math>, quitte à remplacern_k\ge <math>1k</math> par son max avec <math>N</math> réels).
#SiUne <math>u</math>suite convergente dans un espace métrique possède une unique valeur d'adhérence, à savoir sa limite. La première affirmation découle donc de la seconde. Soit (dans un espace métrique) <math>\ell(x_n)</math> alorsune suite de Cauchy admettant une valeur d'adhérence <math>ua</math>. convergeDémontrons versque <math>x_n\ellto a</math>. car pourPour tout <math>\varepsilon>0</math>, il existe (puisque la suite est de Cauchy) un entier <math>N</math> tel que <math>\forall p,q\ge N\quad d(u_px_p,u_qx_q)\le<\varepsilon</math>, et il existe (puisque <math>\existsa</math> est valeur d'adhérence) des <math>q\ge N</math> teltels que <math>d(u_qx_q,\ella)<\varepsilon</math>. doncPar inégalité triangulaire, on en déduit que <math>\forall p\ge N,\quad d(u_px_p,\ella)<2\varepsilon</math>.
#Soit ''f'' une application uniformément continue de (''E'', ''d'') dans (''F'', ''d{{'}}''), c'est-à-dire :<center><math>\forall \varepsilon> 0\quad\exists\delta>0\quad\forall x,y \in E\quad[d(x,y)<\delta\Rightarrow d'(f(x),f(y))<\varepsilon].</math></center>Soit (''x{{ind|n}}'') une suite de Cauchy de ''E'', c'est-à-dire :<center><math>\forall\delta>0\quad\exists n\in\N\quad\forall m\in\N\quad[m\ge n\Rightarrow d(x_n,x_m)<\delta].</math></center>Alors,<center><math>\forall\varepsilon>0\quad\exists n\in\N\quad\forall m\in\N\quad[m\ge n\Rightarrow d'(f(x_n),f(x_m))<\varepsilon]</math></center>autrement dit la suite (''f''(''x{{ind|n}}'')) est de Cauchy.
#Immédiat.}}
#L'application qui à toute suite bornée <math>(x_n)</math> associe <math>\lim_{n\rightarrow \infty}\sup_{m\ge n}d(x_m,x_n)</math> est continue (et même [[w:application lipschitzienne|lipschitzienne]]) donc l'ensemble des suites de Cauchy (image réciproque du singleton fermé <math>\{0\}</math>) est un fermé.<br />Lorsque ''E'' est un espace vectoriel normé, l'addition vectorielle et le produit des vecteurs par un réel fixé sont [[Espaces vectoriels normés/Limites et continuité#Continuité des applications linéaires|linéaires continues, donc uniformément continues]] et a fortiori Cauchy-continues (cf. point précédent).<br />Lorsque ''E'' est de plus une algèbre normée, la multiplication dans ''E'' est [[Application multilinéaire/Définitions#Définition|bilinéaire]] continue, donc lipschitzienne sur toute partie bornée et [[w:Fonction Cauchy-continue#Exemples et contre-exemples|par conséquent, Cauchy-continue]].
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