« Topologie générale/Complétude » : différence entre les versions

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transfert de démos de w:Suite de Cauchy et w:Continuité uniforme
espace complet : 3 propriétés
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{{clr}}
 
==Suite de Cauchy==
===Définition===
{{Définition|contenu=
{{Wikipédia|Suite de Cauchy}}
*Une '''suite''' <math>(u_n)</math> dans un espace métrique <math>(E,d)</math> est dite '''de [[w:Augustin Louis Cauchy|Cauchy]]''' si<center><math>\forall\varepsilon>0\quad\exists N\in\N\quad\forall p,q\ge N\quad d(u_p,u_q)\le\varepsilon</math>,</center>autrement dit si<center><math>\lim_{n\to\infty}\sup_{m\ge n}d(u_m,u_n)=0</math>.</center>
{{Wikipédia|Espace complet}}
*Une '''suite''' <math>(u_n)</math> dans un espace métrique <math>(E,d)</math> est dite '''de [[w:Augustin Louis Cauchy|Cauchy]]''' si<center><math>\forall\varepsilon>0\quad\exists N\in\N\quad\forall p,q\ge N\quad d(u_p,u_q)\le\varepsilon</math>,</center>autrement dit si<center><math>\lim_{n\to\infty}\sup_{m\ge n}d(u_m,u_n)=0</math>.</center>
*Un '''espace métrique''' est dit '''complet''' si, dans cet espace, tout suite de Cauchy converge.
}}
 
=== Propriétés ===
{{Proposition|titre=Propriétés|contenu=
Dans tout espace métrique :
#toute suite convergente est de Cauchy ;
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==Espace complet==
===Définition===
{{Définition|contenu=
{{Wikipédia|Espace complet}}
*Un '''espace métrique''' est dit '''complet''' si, dans cet espace, tout suite de Cauchy converge.
}}
===Propriétés===
{{Proposition|contenu=
*Tout sous-espace fermé d'un espace complet est complet.
*Tout sous-espace complet d'un espace métrique est fermé.
*Si <math>(E,d)</math> un espace métrique complet alors pour tout ensemble <math>X</math>, l'espace <math>E^X</math> des applications de <math>X</math> dans <math>E</math>, muni de la [[Topologie générale/Espace métrique#Définition et exemples|distance uniforme]], est complet.
}}
{{Bas de page
| idfaculté = mathématiques