« Topologie générale/Espace topologique » : différence entre les versions

Contenu supprimé Contenu ajouté
cf. exercices
Ligne 111 :
| contenu =
{{Wikipédia|Convergence uniforme}}
L’analyse fonctionnelle, quant à elle, a pour cadre les espaces fonctionnels, qui sont des espaces vectoriels de dimension infinie, munis d’une topologie. IlsPar sontexemple, depour dimensiontout infinieensemble car<math>X</math>, ceon sontpeut généralementdéfinir une topologie sur l'espace vectoriel des ensemblesapplications bornées de <math>X</math> dans <math>\R</math>, en décrétant qu'une partie <math>V</math> est un voisinage de <math>f</math> s'il existe <math>\varepsilon>0</math> tel que <math>V</math> contienne toutes les fonctions bornées <math>g</math> vérifiant : <math>\forall x\in X\quad|f(x)-g(x)|\le\varepsilon</math>. Cette topologie se nomme la '''topologie de la convergence uniforme''' sur cet espace. On la généralisera au chapitre « [[../Espace métrique/]] ».
Premier exemple : l’ensemble des suites réelles <math>\R^n</math> est un espace vectoriel. On peut définir une topologie en décrétant que <math>O \subset \mathbb R^n</math> est ouvert si, pour toute suite <math>(x_n) \in O</math>, il existe <math>\varepsilon>0</math> tel que toute suite <math>(y_n)</math> vérifiant <math>\forall n \in \N\quad|x_n - y_n| < \varepsilon</math> est dans <math>O</math>. Cette topologie se nomme '''topologie de la convergence uniforme'''.
}}
 
Autre exemple : l’ensemble <math>\mathcal C^0(I, \R)</math> des fonctions continues d’un intervalle compact <math>I</math> à valeurs dans <math>\mathbb R</math> est un espace vectoriel. On peut définir une topologie sur cette espace en décrétant que <math>O \subset \mathcal C^0(I, \mathbb R)</math> est ouvert si pour toute fonction <math>f \in O</math>, il existe <math>\varepsilon>0</math> tel que toute fonction <math>g \in \mathcal C^0(I, \mathbb R)</math> vérifiant <math>|f(x)-g(x)|<\varepsilon</math> pour tout <math>x \in I</math>, est dans <math>O</math>. Cette topologie s’appelle encore '''topologie de la convergence uniforme'''.
 
{{Bas de page