« Topologie générale/Espace métrique » : différence entre les versions
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Soient <math>(E,d)</math> et <math>(F,d')</math> deux espaces métriques. Une application <math>f:E\to F</math> est dite uniformément continue si :
<center><math>\forall\varepsilon>0\quad\exists\delta>0\quad\forall(x,y)\in E\times E\quad\left(d(x,y)\le\delta\Rightarrow d'(f(x),f(y))\le\varepsilon\right). </math></center>
}}
{{Proposition|contenu=
Soient <math>(E,d)</math> et <math>(F,d')</math> deux espaces métriques. Si une application <math>f:E\to F</math> est continue et si sa restriction à une partie dense de <math>E</math> est uniformément continue, alors <math>f</math> est uniformément continue.}}
{{Démonstration déroulante|contenu=
Soit <math>A</math> une partie dense sur laquelle <math>f</math> est uniformément continue. Soit <math>\varepsilon</math> un réel strictement positif ; l'uniforme continuité de <math>f</math> sur <math>A</math> fournit un réel <math>\delta>0</math> tel que<center><math>\forall x,y\in A\quad\left[d\left(x,y\right)<\delta\Rightarrow d'\left(f(x),f(y)\right)<\varepsilon\right].</math></center>Soient <math>x</math> et <math>y</math> deux éléments de <math>E</math> à une distance strictement inférieure à <math>\delta</math> l'un de l'autre et soit <math>\left(a_n\right)</math> (resp. <math>\left(b_n\right)</math>) une suite d'éléments de <math>A</math> convergeant vers <math>x</math> (resp. <math>y</math>). On a donc<center><math>\lim_{n\to\infty}d\left(a_n,b_n\right)=d\left(x,y\right)<\delta,</math></center>si bien que pour <math>n</math> suffisamment grand, <math>d\left(a_n,b_n\right)<\delta</math> et par conséquent <math>d'\left(f(a_n),f(b_n)\right)<\varepsilon</math> donc (par passage à la limite) <math>d'\left(f(x),f(y)\right)\le\varepsilon</math>.
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