« Topologie générale/Complétude » : différence entre les versions

*'''Première construction de <math>\hat E</math>.''' On peut plonger <math>E</math> dans l'espace <math>B(E,\R)</math> des fonctions bornées de <math>E</math> dans <math>\R</math>, [[#Suite de Cauchy|qui est complet]] pour la [[Topologie générale/Espace métrique#Définition et exemples|distance uniforme]] <math>d_\infty</math>. C'est le [[w:Plongement de Kuratowski|plongement de Kuratowski]] : on fixe arbitrairement un point <math>a</math> de <math>E</math> et l'on définit une injection isométrique de <math>E</math> dans <math>B(E,\R)</math> en associant, à tout élément <math>x</math> de <math>E</math>, la fonction <math>y\mapsto d(x,y)-d(a,y)</math>. On prend alors pour <math>\hat E</math> l'adhérence dans <math>B(E,\R)</math> de l'image de <math>E</math> (c'est un espace métrique [[#Espace complet|complet, comme tout fermé dans un complet]]).

*'''Seconde construction de <math>\hat E</math>.''' On peut aussi, en mimant la [[w:Construction des nombres réels#Construction via les suites de Cauchy|construction des nombres réels par les suites de Cauchy de rationnels]], construire <math>\hat E</math> comme un ensemble de [[Relation (mathématiques)/Relation d'équivalence|classes d'équivalence]] de suites de Cauchy.<br />Notons <math>\mathcal C</math> l'ensemble des suites de Cauchy de <math>(E,d)</math> et considérons l'application <math>f:\mathcal C\times\mathcal C\to\R_+,\ (u,v)\mapsto\lim_{n\to\infty}d(u_n,v_n)</math>. Cette application est bien définie car, les suites <math>u</math> et <math>v</math> étant de Cauchy, la suite <math>(d(u_n,v_n))</math> est une suite de Cauchy de <math>\R_+</math>, donc une suite convergente (car <math>\R_+</math>, muni de la distance usuelle, est complet). Cette application vérifie toutes les propriétés d'une distance sauf une : <math>f(u,v)=0</math> n'implique pas que <math>u=v</math>.<br />On y remédie en quotientant <math>\mathcal C</math> par la relation d'équivalence <math>\mathcal R</math> définie par : <math>u\mathcal R v\Leftrightarrow f(u,v)=0</math>. Sur l'ensemble quotient <math>\hat E:=\mathcal C/\mathcal R</math>, on obtient une distance <math>D</math> en posant : <math>D(U,V)=f(u,v)</math>, où <math>u</math> (resp. <math>v</math>) est un élément arbitraire de la classe <math>U</math> (resp. <math>V</math>). Cette définition est indépendante des représentants choisis.<br />L'espace <math>(E,d)</math> est plongé (isométriquement) dans ce quotient <math>(\hat E,D)</math>, par identification d'un élément <math>x</math> de <math>E</math> à la classe d'équivalence de la suite constante de valeur <math>x</math>.<br />On obtient ainsi un espace complet <math>(\hat E,D)</math> dans lequel <math>E</math> est dense.

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Si cette procédure est appliquée à un espace vectoriel normé, on obtient un [[Espaces vectoriels normés/Espaces de Banach - Complétude|espace de Banach]] contenant l'espace original comme sous-espace dense.