« Topologie générale/Continuité et homéomorphismes » : différence entre les versions

*5 ⇒ 4 : en posant ''B = f''(''A'') et en utilisant le fait que ''A'' est inclus dans ''f ''<sup>–1</sup>(''f''(''A'')).
*4 ⇒ 3 : en posant ''A = f ''<sup>–1</sup>(''G'') et en utilisant le fait que ''f''(''f ''<sup>–1</sup>(''G'')) est inclus dans ''G''.
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==Continuité et espaces produits==
{{Propriété|contenu=
Soit <math>(X_i,\mathcal T_i)_{i\in I}</math> une famille d'espaces topologiques, <math>(X,\mathcal T)</math> l'[[../Espace produit|espace produit]] et <math>Y</math> un espace topologique.
*Les projections canoniques <math>p_i:X\to X_i\quad (i\in I)</math> sont à la fois :
**continues (l'image réciproque d'un ouvert de <math>X_i</math> est un ouvert de <math>X</math>) ;
**[[w:Applications ouvertes et fermées|ouvertes]] (l'image directe d'un ouvert de <math>X</math> est un ouvert de <math>X_i</math>).
*Une application <math>f:Y\to X</math> est continue si et seulement si ses composantes <math>p_i\circ f:Y\to X_i</math> le sont.
*Si une application <math>g:X\to Y</math> est continue alors ses applications partielles le sont (l'application partielle associée à un point <math>a\in X</math> et à indice <math>i</math> étant : <math>X_i\to Y,\ t\mapsto g(x)</math> où <math>x_i=t</math> et <math>\forall j\ne i\quad x_j=a_j</math>).
}}
 
== Caractérisation séquentielle ==
{{Wikipédia|Espace à bases dénombrables de voisinages}}
Si tout point de <math>X</math> admet une [[../Bases#Base de voisinages|base de voisinages]] (finie ou) dénombrable — ''en particulier si <math>X</math> est un [[Topologie générale/Espace métrique|espace métrique]]'' — on dispose d'unede caractérisationcaractérisations plus intuitiveintuitives de l'adhérence et de la continuité :
 
{{Proposition|contenu=
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