« Topologie générale/Complétude » : différence entre les versions
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→Complété d'un espace métrique : +propriété universelle minimaliste |
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===Propriétés===
{{Proposition|titre=Premières propriétés|contenu=
*Tout sous-espace fermé d'un espace complet est complet.
*Tout sous-espace complet d'un espace métrique est fermé.
*Si <math>(E,d)</math> un espace métrique complet alors pour tout ensemble <math>X</math>, l'espace <math>E^X</math> des applications de <math>X</math> dans <math>E</math>, muni de la [[Topologie générale/Espace métrique#Définition et exemples|distance uniforme]], est complet.
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{{Théorème|titre=[[w:Théorème des fermés emboîtés|Théorème des fermés emboîtés]]|contenu=
Dans un espace métrique complet, pour toute suite décroissante de fermés non vides <math>F_n</math> dont le [[w:Diamètre|diamètre]] tend vers <math>0</math>, l'intersection des <math>F_n</math> est réduite à un point.
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{{Démonstration déroulante|contenu=
*Pour tout entier <math>n</math>, choisissons un point <math>x_n</math> dans <math>F_n</math>. Alors la suite <math>x</math> est de Cauchy. En effet, pour tout <math>\varepsilon>0</math>, il existe un rang <math>N</math> tel que le diamètre de <math>F_N</math> soit majoré par <math>\varepsilon</math>, si bien que <math>\forall p,q\ge N\quad d(x_p,x_q)\le\varepsilon</math>. Cette suite est donc convergente car l'espace est complet.
*De plus, sa limite <math>\ell</math> appartient à tous les <math>F_n</math>. En effet, pour tout <math>n</math>, la suite <math>(x_m)_{m\ge n}</math> est à valeurs dans le fermé <math>F_n</math> (puisque <math>m\ge n\Rightarrow F_m\subset F_n</math>) donc sa limite <math>\ell</math> appartient à <math>F_n</math>. On a donc prouvé que l'intersection <math>F</math> des <math>F_n</math> est non vide.
*Comme le diamètre de <math>F</math> est majoré par ceux des <math>F_n</math>, il est nul donc <math>F=\{\ell\}</math>.
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