« Espaces vectoriels normés/Espaces de Banach - Complétude » : différence entre les versions

→‎Théorèmes : ce n'est pas du niveau 15 mais 16, donc détails remplacés par lien (à poursuivre)
(→‎Définitions : complément sur les séries absolument convergentes, dont transfert de mes démos du 23/3/13 et 14/12/13 de w:Espace de Banach)
(→‎Théorèmes : ce n'est pas du niveau 15 mais 16, donc détails remplacés par lien (à poursuivre))
 
== Théorèmes ==
Dans tout ce paragraphe, <math>(E,\|.\|)</math> est un espace de Banach (parfois appelé "Banach").
 
Dans un tel espace, on dispose, comme dans tout espace métrique complet, du [[Topologie générale/Complétude|théorème des fermés emboîtés]], ainsi que des théorèmes suivants.
{{Théorème
| titre = Théorème des fermés emboîtés
| contenu =
Soit <math>(F_n)</math> une suite de fermés de <math>E</math> .<br />
Si : <br />
* <math>\forall n\in\N,\;F_{n+1} \subset F_n \mathrm{\;et\;} F_n\ne \varnothing</math>
* <math>\lim_{n\to +\infty}\left(\sup_{x,y\in F_n} \|x-y\|\right)= 0</math>
alors <center>{{Encadre|contenu=<math>\exist! x\in E\;|\; \bigcap_{n\in\N} F_n = \{x\}</math>}}</center>
}}
 
(démonstration à faire)
 
{{Théorème
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