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« Espaces vectoriels normés/Espaces de Banach - Complétude » : différence entre les versions

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→‎Théorèmes : ce n'est pas du niveau 15 mais 16, donc détails remplacés par lien (à poursuivre)
–énoncé trivialement faux
Ligne 12 :
La notion générale de suite de Cauchy dans à valeurs dans un [[Topologie générale/Espace métrique|espace métrique]] se particularise à un evn ''E'', avec la définition suivante :
{{Définition
| titre = Définition : [[Topologie générale/Complétude#Suite de Cauchy|suite de Cauchy]]
| contenu =
Une '''suite''' <math>(u_n)</math> d'éléments de ''E'' est dite '''de Cauchy''' si :
Ligne 49 :
 
Dans un tel espace, on dispose, comme dans tout espace métrique complet, du [[Topologie générale/Complétude|théorème des fermés emboîtés]], ainsi que des théorèmes suivants.
 
{{Théorème
| titre = Théorème : Critère de Cauchy pour les fonctions
| contenu =
Soient <math>E</math> et <math>F</math> deux Banach, <math>f : A\subset E \to F</math> et <math>a\in \bar A</math>.<br />
<math>\lim_{x\to a}f(x)</math> existe dans <math>F</math> si, et seulement si : <br />
<center>{{Encadre|contenu=<math>\forall \varepsilon > 0,\;\exist\delta_{\varepsilon} >0|\forall x,y\in A , \|x-y\| < \delta_{\varepsilon} \Rightarrow \|f(x)-f(y)\| < \varepsilon</math>}}</center>
}}
 
(démonstration à faire)
 
{{Théorème
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