Wikiversité

« Topologie générale/Espace métrique » : différence entre les versions

Navigation interactive dans l’historique
← Modification précédenteModification suivante →
Contenu supprimé Contenu ajouté
VisuelWikicode
→‎Continuité uniforme : plus d'exemples + liens wikipédia
Ligne 110 :
{{Définition|contenu={{Wikipédia|Continuité uniforme}}
Soient <math>(E,d)</math> et <math>(F,d')</math> deux espaces métriques. Une application <math>f:E\to F</math> est dite uniformément continue si :
<center><math>\forall\varepsilon>0\quad\exists\delta>0\quad\forall( x,y)\in E\times E\quad\left({d(x,y)}\le\delta\Rightarrow {d'(f(x),f(y))}\le\varepsilon\right). </math></center>
}}
 
{{Exemple|titre=ExempleExemples d'applicationapplications uniformément continuecontinues|contenu=
{{Wikipédia|Application lipschitzienne}}{{Wikipédia|Condition de Hölder}}
L'application <math>f:\R_+\to\R,\ x\mapsto\sqrt x</math> est uniformément continue. En effet, [[w:Condition de Hölder#Fonction puissance|on démontre facilement]] la majoration suivante :<center><math>\forall x,y\in\R_+\quad\left|\sqrt x-\sqrt y\right|\le\sqrt{\left|x-y\right|}</math>.</center>Pour tout réel <math>\varepsilon>0</math>, en choisissant <math>\delta=\varepsilon^2</math>, on en déduit :<center><math>\forall x,y\in\R_+\quad\left|x-y\right|\le\delta\Rightarrow\left|f(x)-f(y)\right|=\left|\sqrt x-\sqrt y\right|\le\sqrt{\left|x-y\right|}\le\sqrt{\delta}=\varepsilon.</math></center>▼
*Toute application lipschitzienne, c'est-à-dire vérifiant, pour une certaine constante <math>k</math> :<center><math>\forall x,y\in E\quad{d'(f(x),f(y))}\le {k\ d(x,y)}</math>,</center>est uniformément continue.
*Toute application höldérienne, c'est-à-dire vérifiant, pour un certain <math>a\in\left]0,1\right]</math> et une certaine constante <math>k</math> :<center><math>\forall x,y\in E\quad{d'(f(x),f(y))}\le {k\ {d(x,y)}^a}</math>,</center>est <math>1</math>-lipschitzienne donc uniformément continue.
*La fonction puissance d'exposant <math>a</math>, pour <math>0<a\le1</math>, est <math>a</math>-höldérienne (cf. [[Fonctions d'une variable réelle/Exercices/Inégalités|cet exercice corrigé]] de la leçon « [[Fonctions d'une variable réelle]] »).
▲L'application* En particulier, la fonction <math>f:\R_+\to\R,\ x\mapsto\sqrt x</math> est uniformément continue<math>\tfrac12</math>-höldérienne. En effet, [[w:Condition de Hölder#Fonction puissance|on démontre facilement]] la majoration suivante :<center><math>\forall x,y\in\R_+\quad\left|\sqrt x-\sqrt y\right|\le\sqrt{\left|x-y\right|}</math>.</center>Pour tout réel <math>\varepsilon>0</math>, en choisissant <math>\delta=\varepsilon^2</math>, on en déduit :<center><math>\forall x,y\in\R_+\quad\left|x-y\right|\le\delta\Rightarrow\left|f(x)-f(y)\right|=\left|\sqrt x-\sqrt y\right|\le\sqrt{\left|x-y\right|}\le\sqrt{\delta}=\varepsilon.</math></center>
}}
{{Exemple|titre=Exemple d'application non uniformément continue|contenu=
L'application <math>g:\R\to\R,\ x\mapsto x^2</math> n'est pas uniformément continue. En effet, montrons que :<center><math>\exists\varepsilon>0\quad\forall\delta>0\quad\exists( x,y)\in\R\times\R\quad\left|x-y\right|\le\delta\text{ et }\left|g(x)-g(y)\right|>\varepsilon</math>.</center>Il suffit de choisir <math>\varepsilon=2</math>. Pour tout <math>\delta>0</math>, soit <math>x</math> (resp. <math>y</math>) le réel égal à <math>\frac1{\delta}+\delta</math> (resp. <math>\frac1{\delta}</math>). Alors :<center><math>\left|x-y\right|\le\delta\quad\text{et}\quad\left|g(x)-g(y)\right|=\left(\frac1{\delta^2}+2\delta\frac1{\delta}+\delta^2\right)-\frac1{\delta^2}=2+\delta^2>\varepsilon</math>,</center>ce qui termine la démonstration.
}}
 
Récupérée de « https://fr.wikiversity.org/wiki/Topologie_générale/Espace_métrique »