« Topologie générale/Complétude » : différence entre les versions
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→Propriétés : +Critère de Cauchy pour une fonction |
→Espace complet : Théorème du point fixe de Picard-Banach : copie énoncé et transfert démo de w:Application contractante |
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{{Définition|contenu=
{{Wikipédia|Espace complet}}
Un '''espace métrique''' est dit '''complet''' si, dans cet espace, tout suite de Cauchy [[Topologie générale/Suites#Limite d'une suite|converge]].
}}
===Propriétés===
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{{Théorème|titre=
Dans un espace métrique complet, pour toute suite décroissante de fermés non vides <math>F_n</math> dont le [[w:Diamètre|diamètre]] tend vers <math>0</math>, l'intersection des <math>F_n</math> est réduite à un point.
}}
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Soient <math>X</math> un espace topologique, <math>(E,d)</math> un espace métrique complet, <math>A</math> une partie de <math>X</math>, <math>f</math> une fonction de <math>A</math> dans <math>E</math>, et <math>a</math> un point adhérent à <math>A</math>. Pour que <math>f</math> admette une limite en <math>a</math>, (il faut et) il suffit que
<center><math>\forall\varepsilon>0\quad\exists V\in{\mathcal V\left(a\right)}\quad\forall x,y\in{V\cap A}\quad{d\left(f\left(x\right),f\left(y\right)\right)}<\varepsilon</math>.</center>
}}
{{Théorème|titre=Théorème du [[w:Point fixe|point fixe]] de [[w:Émile Picard|Picard]]-[[w:Stefan Banach|Banach]]|contenu={{Wikipédia|Application contractante}}
Soient <math>E</math> un espace métrique complet (non vide), <math>k</math> un réel de <math>\left[0,1\right[</math> et <math>f:E\to E</math> une application {{nobr|<math>k</math>-[[Topologie générale/Espace métrique#Continuité uniforme|lipschitzienne]].}} Alors, <math>f</math> admet un unique point fixe :<center><math>\exists!x^*\in E\quad f(x^*)=x^*</math>.</center>
De plus, toute [[Introduction aux suites numériques/Définitions#Par récurrence|suite d'éléments de <math>E</math> vérifiant la récurrence]] <center><math>x_{n+1}=f(x_n)</math></center> vérifie la majoration
<center><math>d(x_n,x^*) \le \frac {k^n}{1-k} d(x_0,x_1)</math></center>
donc converge vers <math>x^*</math>.}}
{{Démonstration déroulante|contenu=
;Existence
:Soient <math>x_0</math> un point quelconque de <math>E</math> et pour tout entier naturel <math>m</math>, <math>x_m=f^m(x_0)</math>. L'application <math>f^m</math> — [[Opérations sur les fonctions/Composition|itérée]] <math>m</math> fois de l'application <math>f</math> — est <math>k^m</math>-lipschitzienne donc <math>d(x_m,x_{m+1})\le k^m\ d(x_0,x_1).</math>
:On en déduit, par application réitérée de l'inégalité triangulaire :
:<math>\begin{align}\forall n\in\N\quad\forall p\in\N^*\quad d(x_n,x_{n+p})&\le d(x_n,x_{n+1})+d(x_{n+1},x_{n+2})+\ldots+d(x_{n+p-1},x_{n+p})\\&\le(k^n+k^{n+1}+\ldots+k^{n+p-1})\ d(x_0,x_1)\\&=k^n\ \frac{1-k^p}{1-k}\ d(x_0,x_1)
\\&\le\frac{k^n}{1-k}\ d(x_0,x_1).\end{align}</math>
:Ce majorant tend vers zéro quand <math>n</math> tend vers l'infini, donc la suite <math>(x_n)</math> est de Cauchy.
:Comme <math>E</math> est complet, cette suite de Cauchy converge vers une limite <math>x^*</math>, vérifiant (par passage à la limite quand <math>p</math> tend vers l'infini) la majoration annoncée de l'erreur.
:Enfin, de <math>f(x_n)=x_{n+1}</math>, on déduit en passant à la limite et en utilisant la continuité de <math>f</math> (car c'est une application lipschitzienne) que <math>f(x^*)=x^*</math>.
;Unicité
:Soient <math>x^*</math> et <math>x^{**}</math> deux points fixes de <math>f</math>. On a alors <math>d(x^*,x^{**}) = d(f(x^*),f(x^{**}))\le k\ d(x^*,x^{**})</math> d'où (puisque <math>k<1</math>) <math>x^*=x^{**}</math>.
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