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== Théorèmes ==
Dans un tel espace de Banach, on dispose, comme dans tout espace métrique complet, du [[Topologie générale/Complétude|théorème des fermés emboîtés]], ainsidu quecritère desde théorèmesCauchy suivantspour une fonction et du théorème du point fixe de Picard-Banach]].
Dans tout ce paragraphe, <math>(E,\|.\|)</math> est un espace de Banach.
 
Dans un tel espace, on dispose, comme dans tout espace métrique complet, du [[Topologie générale/Complétude|théorème des fermés emboîtés]], ainsi que des théorèmes suivants.
 
{{Théorème
| titre = Théorème du point fixe de Banach
| contenu =
Soient <math>E</math> un Banach et <math>f : E \to E</math> une application <math>k</math>-contractante<math>\,^{(1)}</math> .<br />
Alors :<br />
* la fonction <math>f</math> admet un unique point fixe <math>\ell</math> sur <math>E</math> (c'est-à-dire <math>\exist! \ell\in E\;|\;f(\ell) = \ell</math> )
* <math>\ell</math> est la limite de toute suite <math>(u_n)</math> de <math>E</math> définie par <math>u_0 \in E</math> et <math>u_{n+1} = f(u_n)</math> .
<small><math>(1)</math> c'est-à-dire <math>k</math>-lipschitzienne avec <math>|k|<1</math></small>.
}}
 
{{Démonstration déroulante
| contenu =
* '''Existence du point fixe :'''Puisque <math>f</math> est <math>k</math>-contractante, on a donc :
<math>\|u_{n+1}-u_n\| = \|f(u_n) - f(u_{n-1})\| \le k \|u_n-u_{n-1}\|</math> . On en déduit par une récurrence facile que :<br />
<center>{{Encadre|contenu=<math>\|u_{n+1}-u_n\| \le k^n\|u_1-u_0\|</math>}}</center><br />
puis que :<br />
<math>\forall (n,p)\in\N^2</math><br />
<math>\begin{align}\|u_{n+p} - u_n\| &\le \|u_{n+p}-u_{n+p-1}\| + \ldots + \|u_{n+1} - u_n\| \\
&\le \left(k^{n+p-1}+\ldots+k^n \right) \|u_1-u_0\| \\ &\le k^n \frac{1-k^p}{1-k} \|u_1-u_0\| \\&\le \frac{k^n}{1-k}\|u_1-u_0\| \xrightarrow[n\to+\infty]{} 0\end{align}</math><br />
donc <math>(u_n)</math> est de Cauchy et converge vers <math>\ell\in E</math> . En passant à la limite dans <math>u_{n+1} = f(u_n)</math> , on obtient bien que <math>f(\ell) = \ell</math> et que <math>\ell</math> est un point fixe de <math>f</math> .
* '''Unicité du point fixe :''' Supposons que <math>x</math> et <math>y</math> soient deux points fixes de <math>f</math>. Alors :
<math>\|f(x)-f(y)\| \le k\|x-y\| < \|x-y\|</math> (car <math>k<1</math>) , ce qui est absurde sauf si <math>x=y</math>.
}}
 
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