« Espaces vectoriels normés/Espaces de Banach - Complétude » : différence entre les versions
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Dans toute la suite, <math>(E,\|.\|)</math> est un espace vectoriel normé (evn).
{{clr}}
== Définitions ==
La notion générale de suite de Cauchy dans à valeurs dans un [[Topologie générale/Espace métrique|espace métrique]] se particularise à un evn
{{Définition
| titre = Définition : [[Topologie générale/Complétude#Suite de Cauchy|suite de Cauchy]]
| contenu =
Une '''suite''' <math>(u_n)</math> d'éléments de
<center><math>\forall\varepsilon>0\quad\exist n\in\N\quad\forall p,q\in\N\quad p,q\ge n\Rightarrow \|u_q-u_p\|<\varepsilon</math>.</center>
}}
Ligne 27 :
| titre = Définition : Espace de [[w:Stefan Banach|Banach]]
| contenu ={{Wikipédia|Espace de Banach}}
*
* On appelle '''espace de Banach''' tout espace vectoriel normé complet.
}}
Pour toute série convergente à valeurs dans
:<math>\left\|\sum_{n=0}^{+\infty}x_n\right\|\le\sum_{n=0}^{+\infty}\|x_n\|</math>,
mais ce majorant peut être <math>+\infty</math>.
:Une série à valeurs dans
Cette appellation est trompeuse car — contrairement au cas où
{{Propriété|titre=Caractérisation|contenu=
}}
{{Démonstration déroulante|contenu=
|