« Espaces vectoriels normés/Espaces de Banach - Complétude » : différence entre les versions

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Dans toute la suite, <math>(E,\|.\|)</math> est un espace vectoriel normé (evn).
{{clr}}
 
== Définitions ==
La notion générale de suite de Cauchy dans à valeurs dans un [[Topologie générale/Espace métrique|espace métrique]] se particularise à un evn ''E'', avec la définition suivante :
{{Définition
| titre = Définition : [[Topologie générale/Complétude#Suite de Cauchy|suite de Cauchy]]
| contenu =
Une '''suite''' <math>(u_n)</math> d'éléments de ''<math>E''</math> est dite '''de Cauchy''' si :
<center><math>\forall\varepsilon>0\quad\exist n\in\N\quad\forall p,q\in\N\quad p,q\ge n\Rightarrow \|u_q-u_p\|<\varepsilon</math>.</center>
}}
| titre = Définition : Espace de [[w:Stefan Banach|Banach]]
| contenu ={{Wikipédia|Espace de Banach}}
* Un evn<math>E</math> est ''E'' dit '''complet''' si, dans ''<math>E''</math>, toute suite de Cauchy est convergente.
* On appelle '''espace de Banach''' tout espace vectoriel normé complet.
}}
 
Pour toute série convergente à valeurs dans un evn<math>E</math>, on a une majoration de la norme de la somme (par passage à la limite dans la majoration évidente des normes des sommes partielles) :
:<math>\left\|\sum_{n=0}^{+\infty}x_n\right\|\le\sum_{n=0}^{+\infty}\|x_n\|</math>,
mais ce majorant peut être <math>+\infty</math>.
:Une série à valeurs dans un evn ''<math>E''</math> est dite « absolument convergente » si elle vérifie : <math>\sum\|x_n\|<+\infty</math>.
Cette appellation est trompeuse car — contrairement au cas où ''<math>E''</math> est de dimension finie — si ''<math>E''</math> est un evn quelconque, une telle série ne converge pas nécessairement dans ''<math>E''</math> ; l'implication qu'elle sous-entend est en fait une caractérisation des espaces de Banach :
 
{{Propriété|titre=Caractérisation|contenu=
Un evn ''<math>E''</math> est complet si et seulement si, dans ''<math>E''</math>, toute série absolument convergente est convergente.
}}
{{Démonstration déroulante|contenu=
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