« Fonctions polynômes du second degré (ou trinômes) » : différence entre les versions
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Ligne 7 :
| w = Fonction du second degré
}}
{{clr}}
== Les trinômes ==
{{Définition
Ligne 18 :
où ''a'', ''b'' et ''c'' sont des coefficients et où ''a'' est non nul.}}
{{Exemple|titre=
Parmi les fonctions suivantes, lesquelles peuvent être classées dans l’ensemble des fonctions polynômes du second degré ? Préciser leurs coefficients.
Ligne 36 :
* <math>f_5</math> l'est avec : a=1, b=0 et c=3
* <math>f_6</math> l'est avec : a=3, b=-1 et c=0
}}
}}
=
▲<center>{{Théorème
| contenu=La représentation graphique d'une fonction trinôme est toujours une '''parabole'''.
Ligne 48 :
Le '''sommet''' est en haut si ''a'' est négatif.
[[Fichier:Parabolic_function_graph_downwards.PNG|300px]]
}}
{{Exemple|contenu=
''Tracer dans un même repère orthonormé les paraboles représentatives des fonctions suivantes.''
Ligne 61 ⟶ 60 :
{{Solution
| contenu = [[Fichier:4 fonctions du second degré.svg|500px|left]] }}
}}
{{CfExo|align=left
| idfaculté = mathématiques|exercice=
}}
▲== [[Cours de mathématiques de première STI/Fonctions polynômes du second degré (ou trinômes)/TP : Un trinôme issu d'une situation géométrique|TP : Un trinôme issu d'une situation géométrique]] ==
▲= Racines d'un trinôme =
{{Définition
Ligne 73 ⟶ 74 :
Graphiquement, ce sont les abscisses des points d'intersection de la parabole avec l’axe horizontal des abscisses
}}
{{Théorème
| contenu=Le nombre de racines d'un trinôme dépend de son '''discriminant''' : <math> \Delta=b^2-4ac</math>.
* Si <math> \Delta>0</math> alors le trinôme a deux racines réelles :<br /><math>x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}</math> <br /><math>x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}</math>.▼
* Si <math> \Delta
▲<br /><math>x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}</math> <br /><math>x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}</math>
* Si <math> \Delta<0</math> alors le trinôme n'a pas de racine réelle (mais il possède deux racines complexes conjuguées).
}}
{| class="wikitable" width="800" style="background-color:#B2FFFF"
|+ '''On a donc six possibilités
!
! Si <math> \Delta>0</math>
Ligne 107 ⟶ 100 :
|}
{{Exemple|titre=
''Calculer d’abord le discriminant puis les racines des trinômes suivants. Vérifier la cohérence des résultats avec les courbes tracées plus haut.''
Ligne 240 ⟶ 232 :
{{BDfin}}
}}
=
<center>
Ligne 319 ⟶ 312 :
</center>
:* L'abscisse de l'extremum <math>-\frac{b}{2a}</math> correspond à la moyenne des deux racines quand elle existent, la parabole est symétrique.
:* La valeur de l'extremum <math>\frac{4ac-b^2}{4a}</math> n'a pas à être apprise par cœur : elle se retrouve facilement dans les exemples.
== Construire le tableau de variations d'une fonction trinôme ==▼
''Donner les tableaux de variations des fonctions suivantes. Vérifier la cohérence avec les courbes obtenues précédemment.''
Ligne 336 ⟶ 328 :
{{boîte déroulante|titre = Solution de <math>f_3</math>|contenu = Vos solutions sont bienvenues ! }}
{{boîte déroulante|titre = Solution de <math>f_4</math>|contenu = Vos solutions sont bienvenues ! }}
}}
=
En combinant la connaissance des racines et celle du tableau de variations, on obtient le tableau de signe d'un trinôme. Il y a six possibilités.
Ligne 496 ⟶ 489 :
</center>
{{Exemple|titre=
Voir [[Équations et fonctions de second degré/Inéquations du second degré#Application]].
}}
{{CfExo|align=left
| idfaculté = mathématiques|exercice=[[Équations et fonctions de second degré/Exercices/Situation économique conduisant à une étude de signe|Situation économique conduisant à une étude de signe]]
}}
▲= Somme et produit des racines =
Quand un trinôme possède deux racines <math>x_1\ et\ x_2</math>, on vérifie facilement les deux formules suivantes, qui peuvent être utiles pour calculer une racine quand on connait déjà l'autre, ou bien quand on connait le produit et la somme des racines, mais pas les racines elles-mêmes.
| contenu=
▲<br /><math>x_1x_2 = \frac{c}{a}</math>
}}
=
| contenu=
Quand un trinôme possède deux racines <math>x_1\ et\ x_2</math>, on peut le factoriser de la manière suivante :
<center><math> ax^2+bx+c = a(x-x_1)(x-x_2)</math>.</center>
}}
== Factoriser un trinôme ==▼
''Factoriser, lorsque c’est possible, les trinômes suivants.''
Ligne 546 ⟶ 523 :
{{boîte déroulante|titre = Solution de <math>f_1</math>|contenu = <math>2(x + \frac{1}{2})(x + 1)</math> }}
{{boîte déroulante|titre = Solution de <math>f_2</math>|contenu = Δ < 0. Il n'y a donc pas de racines réelles, donc pas de factorisation réelle possible.}}
{{boîte déroulante|titre = Solution de <math>f_3</math>|contenu = <math>-(x-\sqrt 3) (x+\sqrt 3)</math> }}
{{boîte déroulante|titre = Solution de <math>f_4</math>|contenu = x(-3x-1)}}
}}
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* [[w:Équation du second degré|Équation du second degré]] sur Wikipédia, on y trouve les démonstrations des théorèmes de ce cours. Un peu difficile néanmoins.
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