« Application linéaire/Exercices/Application directe » : différence entre les versions

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→‎Être ou ne pas être une application linéaire ? : Non au mépris (gratuit donc inéluctablement réciproque) et au dressage à l'absence d'observation et de réflexion (l'infantilisation est l'exact inverse de l'éducation)
→‎Automorphisme : idem, sans compter que la solution était fausse
Ligne 55 :
== Automorphisme ==
 
SoitMontrer que l’application ''u'' définie par :
:<math>\begin{array}{cccccmatrix}
u&:&\R^2&\rightarrowto&\R^2\\
~&~&\left(x,y\right)&\mapsto&\left(x+y,x-y\right)
\end{arraymatrix}</math>
Montrer que ''u'' est un automorphisme de <math>\R^2</math> et trouvercalculer son applicationl'automorphisme réciproque.
 
{{Solution|contenu=
Montrer que ''u'' est un automorphisme de <math>\R^2</math> et trouver son application réciproque.
<math>u</math> est linéaire, pour la même raison que l'application <math>u_4</math> de l'exercice précédent : <math>u(v)=\left(f(v),g(v)\right)</math> où <math>f</math> et <math>g</math> sont les formes linéaires produit scalaire par <math>(1,1)</math> et par <math>(1,-1)</math>.
 
<math>u(x,y)=(x',y')\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}x+y=x'\\x-y=y'\end{matrix}\right\}\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}x=\frac{x'+y'}2\\y=\frac{x'-y'}2\end{matrix}\right.</math>
{{Solution
| contenu =
On pose <math>E=\R^2</math>.
 
donc <math>u</math> est une application linéaire bijective (c'est-à-dire un automorphisme), et sa bijection réciproque est l'automorphisme <math>\tfrac12u</math>.
Soit <math>(\lambda,v_1,v_2)\in\R\times E^2</math> avec
<math>v_1\begin{array}{|l}x_1\\y_1\end{array}</math> et <math>v_2\begin{array}{|l}x_2\\y_2\end{array}</math>
 
Autrement dit : <math>u^2=2\operatorname{Id}_{\R^2}</math>, ou encore : <math>\left(\tfrac1{\sqrt2}u\right)^2=\operatorname{Id}_{\R^2}</math>, c'est-à-dire que <math>\tfrac1{\sqrt2}u</math> est une [[Application linéaire/Projecteurs, symétries#Symétries|symétrie]].
On a :
<math>\begin{align}u(\lambda v_1+v_2)&=u(\lambda x_1+x_2,\lambda y_1+y_2)\\
&=\begin{array}{|l}\lambda x_1+x_2+\lambda y_1+y_2\\\lambda x_1+x_2-(\lambda y_1+y_2)\end{array}\\
&=\begin{array}{|l}\lambda(x_1+y_1)+(x_2+y_2)\\\lambda(x_1-y_1)+(x_2-y_2)\end{array}\\
&=\lambda\begin{array}{|l}x_1+y_1\\x_1-y_1\end{array}+\begin{array}{|l}x_2+y_2\\x_2-y_2\end{array}\\
&=\lambda u(v_1)+u(v_2)
\end{align}</math>
 
Donc ''u'' est une application linéaire.
 
Montrons à présent que ''u'' est un automorphime de E, c'est-à-dire que ''u'' est bijective.
 
Soit <math>v\begin{array}{|l}x\\y\end{array} \in E</math>. Montrons qu’il existe un unique antécédent de ''v'' par ''u''.
 
Soit <math>(x_0,y_0)\in\R^2</math>.
<math>\begin{align}
u(x_0,y_0)=v &\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x_0+y_0=x\\x_0-y_0=y\end{array}\right.\\
&\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x_0=\frac12(x-y)\\y_0=\frac12(x+y)\end{array}\right.
\end{align}</math>
 
Donc tout vecteur <math>v\begin{array}{|l}x\\y\end{array} \in E</math> admet un unique antécédent par l’application ''u'', donc ''u'' est bijective.
 
{{Encadre
| couleur = vert
| contenu =
Finalement, u est un automorphisme de <math>\R^2</math> et sa réciproque est l'application
<math>\begin{array}{ccccc}
u^{-1}&:&\R^2&\rightarrow&\R^2\\
~&~&(x,y)&\mapsto&\left(\frac12(x-y),\frac12(x+y)\right)
\end{array}</math>
}}
}}