« Application linéaire/Exercices/Application directe » : différence entre les versions
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→Être ou ne pas être une application linéaire ? : Non au mépris (gratuit donc inéluctablement réciproque) et au dressage à l'absence d'observation et de réflexion (l'infantilisation est l'exact inverse de l'éducation) |
→Automorphisme : idem, sans compter que la solution était fausse |
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Ligne 55 :
== Automorphisme ==
:<math>\begin{
u&:&\R^2&\
\end{
{{Solution|contenu=▼
▲Montrer que ''u'' est un automorphisme de <math>\R^2</math> et trouver son application réciproque.
<math>u</math> est linéaire, pour la même raison que l'application <math>u_4</math> de l'exercice précédent : <math>u(v)=\left(f(v),g(v)\right)</math> où <math>f</math> et <math>g</math> sont les formes linéaires produit scalaire par <math>(1,1)</math> et par <math>(1,-1)</math>.
<math>u(x,y)=(x',y')\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}x+y=x'\\x-y=y'\end{matrix}\right\}\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}x=\frac{x'+y'}2\\y=\frac{x'-y'}2\end{matrix}\right.</math>
▲{{Solution
donc <math>u</math> est une application linéaire bijective (c'est-à-dire un automorphisme), et sa bijection réciproque est l'automorphisme <math>\tfrac12u</math>.
Autrement dit : <math>u^2=2\operatorname{Id}_{\R^2}</math>, ou encore : <math>\left(\tfrac1{\sqrt2}u\right)^2=\operatorname{Id}_{\R^2}</math>, c'est-à-dire que <math>\tfrac1{\sqrt2}u</math> est une [[Application linéaire/Projecteurs, symétries#Symétries|symétrie]].
}}
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