« Application linéaire/Exercices/Noyau et image » : différence entre les versions

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| chapitre = [[../../Définitions/]]
| précédent = [[../Application directe/]]
| suivant = [[../Endomorphismes../|Sommaire]]
| numéro = 2
| niveau = 14
}}
Soient ''E'', ''F'' et ''G'' trois ''K''-espaces vectoriels.
 
{{clrClr}}
Soit ''E'' un <math>\mathbb K</math>-espace vectoriel.
 
== Exercice 1 ==
Soient <math>u\in\operatorname L(E,F)</math> et <math>v\in\operatorname L(F,G)</math>.
 
Vérifier que <math>v\circ u=0</math> si et seulement si <math>\operatorname{Im}u\subset\operatorname{Ker}v</math>.
Soient ''u'' et ''v'' deux endomorphismes de E tels que <math>v\circ u=0</math>.
 
{{Solution|contenu=
Montrer que <math>\mathrm{Im}(u)\subset\mathrm{Ker}(v)</math>.
<math>\begin{align}v\circ u=0&\Leftrightarrow\forall x\in E\quad v\left(u(x)\right)=0\\&\Leftrightarrow\forall x\in E\quad u(x)\in\operatorname{Ker}v\\&\Leftrightarrow\forall y\in\operatorname{Im}u\quad y\in\operatorname{Ker}v.\end{align}</math>
 
{{clr}}
{{Solution
| contenu =
<math>\forall x\in E,~v(u(x))=0</math> donc <math>\forall x\in E,~u(x)\in\mathrm{Ker}(v)</math>
 
Donc <math>\{u(x)|x\in E\}\subset\mathrm{Ker}(v)</math>, c'est-à-dire <math>\mathrm{Im}(u)\subset\mathrm{Ker}(v)</math>
}}
 
== Exercice 2 ==
* Soit <math>xu\in\mathrm{Ker}operatorname L(u^2E)</math>.
#Vérifier que <math>\operatorname{Ker}u\subset\operatorname{Ker}u^2</math> et <math>\operatorname{Im}u^2\subset\operatorname{Im}u</math>.
'''1.''' #Montrer que <math>\mathrmoperatorname{Ker}(u)=\mathrmoperatorname{Ker}(u^2)\Leftrightarrow\mathrmoperatorname{Ker}(u)\cap\mathrmoperatorname{Im}(u)=\{0\}</math>.
'''2.''' #Montrer que <math>\mathrmoperatorname{Im}(u)=\mathrmoperatorname{Im}(u^2)\Leftrightarrow E=\mathrmoperatorname{Im}(u)+\mathrmoperatorname{Ker}(u)</math>.
 
{{Solution| contenu =
Soit ''u'' un endomorphisme de E.
#<math>\forall x\in\operatorname{Ker}u\quad u^2(x)=u\left(u(x)\right)=u(0)=0</math> donc <math>x\in\operatorname{Ker}u^2</math>. On a donc bien <math>\mathrm{Ker}(u)\subset\mathrm{Ker}(u^2)</math>.<br />D'autre part (comme pour toute application de <math>E</math> dans <math>E</math>, même non linéaire) <math>\operatorname{Im}u^2=u^2(E)=u\left(u(E)\right)\subset u(E)=\operatorname{Im}u</math>.
 
#D'après la question 1, il reste à démontrer que <math>\operatorname{Ker}u^2\subset\operatorname{Ker}u\Leftrightarrow\operatorname{Ker}u\cap\operatorname{Im}u\subset\{0\}</math>.<br /><math>\operatorname{Ker}u\cap\operatorname{Im}u\subset\{0\}\Leftrightarrow\forall y\in\operatorname{Im}u\quad\left(u(y)=0\Rightarrow y=0\right)\Leftrightarrow\forall x\in E\quad\left(u\left(u(x)\right)=0\Rightarrow u(x)=0\right)\Leftrightarrow\operatorname{Ker}u^2\subset\operatorname{Ker}u</math>.
'''1.''' Montrer que <math>\mathrm{Ker}(u)=\mathrm{Ker}(u^2)\Leftrightarrow\mathrm{Ker}(u)\cap\mathrm{Im}(u)=\{0\}</math>
#D'après la question 1, il reste à démontrer que <math>\operatorname{Im}u\subset\operatorname{Im}u^2\Leftrightarrow E\subset\operatorname{Im}u+\operatorname{Ker}u</math>.<br /><math>E\subset\operatorname{Im}u+\operatorname{Ker}u\Leftrightarrow\forall x\in E\quad\exists y\in\operatorname{Im}u\quad u(x-y)=0\Leftrightarrow\forall x\in E\quad\exists z\in E\quad u\left(x-u(z)\right)=0\Leftrightarrow\forall x\in E\quad\exists z\in E\quad u(x)=u^2(z)\Leftrightarrow\operatorname{Im}u\subset\operatorname{Im}u^2</math>.
 
'''2.''' Montrer que <math>\mathrm{Im}(u)=\mathrm{Im}(u^2)\Leftrightarrow E=\mathrm{Im}(u)+\mathrm{Ker}(u)</math>
 
 
{{Solution
| contenu =
On suppose que <math>\mathrm{Ker}(u)\cap\mathrm{Im}(u)=\{0\}</math>.
* Par définition du noyau, <math>\forall x\in\mathrm{Ker}(u),~u(x)=0</math>
:Donc, comme <math>u\in\mathcal L(E),~\forall x\in\mathrm{Ker}(u),~u(u(x))=0</math>
:On obtient <math>\color{Red}{\mathrm{Ker}(u)\subset\mathrm{Ker}(u^2)}</math>
* Soit <math>x\in\mathrm{Ker}(u^2)</math>.
:Par définition du noyau, <math>u^2(x)=u(u(x))=0</math>
:On en déduit que <math>u(x)\in\mathrm{Ker}(u)</math> car <math>u(\color{Blue}{u(x)}\color{Black})=0</math>
:On a de plus <math>u(\color{Blue}{u(x)}\color{Black})\in\mathrm{Im}(u)</math> (car c’est ''u''(quelque chose))
:On obtient alors que <math>u(x)\in\mathrm{Ker}(u)\cap\mathrm{Im}(u)</math>. Or, cet espace est réduit à <math>\{0\}</math>, donc <math>u(x)=0</math>.
:La définition du noyau de ''u'' permet alors de dire que <math>x\in\mathrm{Ker}(u)</math>.
:On a alors montré que pour tout <math>x\in\mathrm{Ker}(u^2),~x\in\mathrm{Ker}(u)</math>, ce qui est bien la définition de <math>\color{Red}{\mathrm{Ker}(u^2)\subset\mathrm{Ker}(u)}</math>.
 
{{Encadre
| contenu =
On a ainsi montré la première implication : <math>\mathrm{Ker}(u)\cap\mathrm{Im}(u)=\{0\}\Rightarrow\mathrm{Ker}(u)=\mathrm{Ker}(u^2)</math>
}}
 
On suppose maintenant que <math>\mathrm{Ker}(u)=\mathrm{Ker}(u^2)</math>
* Soit <math>x\in\mathrm{Ker}(u)\cap\mathrm{Im}(u)</math>
<math>x\in\mathrm{Im}(u)</math> donc il existe <math>y\in E,~u(y)=x</math>
<math>x\in\mathrm{Ker}(u)</math> donc <math>u(x)=0</math>
:Si on met les eux informations bout-à-bout, on arrive à <math>u(u(y))=0</math>, soit <math>y\in\mathrm{Ker}(u^2)</math>.
:Or, <math>\mathrm{Ker}(u)=\mathrm{Ker}(u^2)</math>, donc <math>y\in\mathrm{Ker}(u)</math>, c'est-à-dire <math>x=u(y)=0</math>.
:On vient de montrer que <math>\forall x\in\mathrm{Ker}(u)\cap\mathrm{Im}(u),~x=0</math>, c'est-à-dire <math>\mathrm{Ker}(u)\cap\mathrm{Im}(u)\subset\{0\}</math>
:L'inclusion inverse est triviale : <math>\{0\}\subset\mathrm{Ker}(u)\cap\mathrm{Im}(u)</math>.
 
{{Encadre
| contenu =
On a ainsi montré la deuxième implication : <math>\mathrm{Ker}(u)=\mathrm{Ker}(u^2)\Rightarrow \mathrm{Ker}(u)\cap\mathrm{Im}(u)=\{0\}</math>
}}
 
{{Encadre
| contenu =
'''Finalement, on a bien l'équivalence''' <math>\mathrm{Ker}(u)=\mathrm{Ker}(u^2)\Leftrightarrow\mathrm{Ker}(u)\cap\mathrm{Im}(u)=\{0\}</math>
}}
}}
 
== Exercice 3 ==
SoitSoient <math>(u,v,w)\in\mathcaloperatorname L(E)^3</math> teltels que <math>u\circ v=w~</math>,~ <math>v\circ w=u~,~</math> et <math>w\circ u=v</math>.
 
Soit <math>(u,v,w)\in\mathcal L(E)^3</math> tel que <math>u\circ v=w~,~v\circ w=u~,~w\circ u=v</math>.
 
Montrer que ces trois endomorphismes ont même noyau et même image.
 
{{Solution|contenu=
*<math>u\circ v=w\Rightarrow\operatorname{Ker}v\subset\operatorname{Ker}w</math>. De même, <math>\operatorname{Ker}w\subset\operatorname{Ker}u</math> et <math>\operatorname{Ker}u\subset\operatorname{Ker}v</math>. Les trois noyaux sont donc égaux.
| contenu =
* On suppose <math>x \in \mathrm{Ker}(u)</math>. On a alors <math>v(x) = (w\circ u)(x) v= w(u(x)) = w(0)=0</math>. Donc <math>\mathrmRightarrow\operatorname{KerIm}(u) w\subset \mathrmoperatorname{KerIm}(v)u</math>. De même, on trouve <math>\mathrmoperatorname{KerIm}(v) u\subset \mathrmoperatorname{KerIm}(w)v</math> et <math>\mathrmoperatorname{KerIm}(w) v\subset \mathrmoperatorname{KerIm}(u)w</math>. Les trois images sont donc égales.
 
Finalement, on a bien <math>\mathrm{Ker}(u) = \mathrm{Ker}(v) = \mathrm{Ker}(w)</math>
 
* On suppose <math>y \in \mathrm{Im}(u)</math>. Il existe <math>x \in E </math> tel que <math>y = u(x) = (v\circ w)(x) = v(w(x))</math>. Comme <math>w(x) \in E</math>, il vient <math>\mathrm{Im}(u) \subset \mathrm{Im}(v)</math>. De même, on trouve <math>\mathrm{Im}(v) \subset \mathrm{Im}(w)</math> et <math>\mathrm{Im}(w) \subset \mathrm{Im}(u)</math>.
 
Finalement, on a bien <math>\mathrm{Im}(u) = \mathrm{Im}(v) = \mathrm{Im}(w)</math>
}}
 
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| suivant = [[../Endomorphismes../|Sommaire]]
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