« Anneau (mathématiques)/Idéal d’un anneau commutatif » : différence entre les versions
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Dans tout ce chapitre, l'anneau <math>A</math> est supposé commutatif. Rappelons qu'un [[Anneau (mathématiques)/Définitions#Idéaux|idéal de <math>A</math>]] est alors une partie <math>I</math> de <math>A</math> telle que <math>(I,+)</math> est un sous-groupe de <math>(A,+)</math> et <math>AI\subset I</math>.
{{Clr}}
==Image réciproque par un morphisme==
{{Propriété|contenu=
Soit <math>\phi:A\to B</math> un morphisme d'anneaux. Le noyau de <math>\phi</math> est un idéal de <math>A</math>. Plus généralement, toute [[Application (mathématiques)/Définitions#Image directe, image réciproque d’une partie par une application|image réciproque]] par <math>\phi</math> d'un idéal de <math>B</math> est un idéal de <math>A</math>.
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}}
{{Propriété
|contenu =
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Soit <math>(J_i)_{i\in I}</math> une famille d'idéaux de <math>A</math> indexée par un ensemble <math>I</math>. Posons <math>J = \bigcap_{i\in I} J_i</math>. Tous les <math>J_i</math> contiennent <math>0</math>, donc <math>J</math> contient <math>0</math>, et est donc non vide. Soient <math>x,y\in J, a \in A</math>. Pour tout <math>i</math> de <math>I</math>, <math>x</math> et <math>y</math> sont dans <math>J_i</math>, qui est un idéal, donc <math>x-y\in J_i</math> et <math>ax\in J_i</math>, donc <math>x-y\in J</math> et <math>ax\in J</math>.
}}
▲== Idéal engendré par une partie ==
La propriété précédente nous permet de considérer la notion d'idéal engendré par une partie :
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|contenu=
Si un idéal <math>I</math> est de la forme <math>(a)</math> avec <math>a\in A</math>, il est dit principal, et <math>a</math> est appelé générateur de <math>I</math>.
}}▼
== Somme d'idéaux ==▼
{{Définition▼
|contenu=▼
Soient <math>I_1,\dotsc,I_n</math> des idéaux de <math>A</math>. On appelle somme de <math>I_1,\dotsc,I_n</math>, et on note <math>\sum_{i=1}^n I_i</math> l’ensemble <math>\sum_{i=1}^n I_i = \{x_1+\dotsb+x_n, (x_1,\dotsc,x_n)\in I_1\times\dotsm\times I_n\}</math>. C'est le plus petit idéal de <math>A</math> contenant les <math>I_i</math>.▼
}}
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auquel cas on dit que <math>a</math> et <math>b</math> sont ''associés''.
▲}}
▲== Somme d'idéaux ==
▲{{Définition
▲|contenu=
▲Soient <math>I_1,\dotsc,I_n</math> des idéaux de <math>A</math>. On appelle somme de <math>I_1,\dotsc,I_n</math>, et on note <math>\sum_{i=1}^n I_i</math> l’ensemble <math>\sum_{i=1}^n I_i = \{x_1+\dotsb+x_n, (x_1,\dotsc,x_n)\in I_1\times\dotsm\times I_n\}</math>. C'est le plus petit idéal de <math>A</math> contenant les <math>I_i</math>.
}}
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