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« Anneau (mathématiques)/Idéal d’un anneau commutatif » : différence entre les versions

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Dans tout ce chapitre, l'anneaules anneaux <math>A</math> estet supposé<math>B</math> commutatif.sont Rappelonssupposés qu'uncommutatifs. [[Anneau (mathématiques)/Définitions#Idéaux|Rappelons qu'un ''idéal'' de <math>A</math>]] est alors une partie <math>I</math> de <math>A</math> telle que :
*<math>(I,+)</math> est un sous-groupe de <math>(A,+)</math> et <math>AI\subset I</math>.;
*<math>AI\subset I</math> (ce qui implique <math>AI=I</math>).
{{Clr}}
 
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== Idéal engendré==
{{Propriété|titre=Intersection d'idéaux|contenu=
Toute intersection[[Application (finiemathématiques)/Famille#Opérations ousur les familles|intersection d'une famille]] non) vide d'idéaux de <math>A</math> est un idéal de <math>A</math>.}}▼
|contenu =
}}
▲Toute intersection (finie ou non) d'idéaux de <math>A</math> est un idéal de <math>A</math>.}}
 
{{Démonstration déroulante|contenu=
Soient <math>(J_i)_{i\in I}</math> une telle famille. Son intersection <math>J</math> est un sous-groupe de <math>(A,+)</math> (comme [[Groupe (mathématiques)/Groupes, premières notions#Sous-groupes|intersection de sous-groupes]]) et <math>AJ=A\ \bigcap_{i\in I}J_i\subset\bigcap_{i\in I}\left(AJ_i\right)=\bigcap_{i\in I}J_i=J</math>.
Soit <math>(J_i)_{i\in I}</math> une famille d'idéaux de <math>A</math> indexée par un ensemble <math>I</math>. Posons <math>J = \bigcap_{i\in I} J_i</math>. Tous les <math>J_i</math> contiennent <math>0</math>, donc <math>J</math> contient <math>0</math>, et est donc non vide. Soient <math>x,y\in J, a \in A</math>. Pour tout <math>i</math> de <math>I</math>, <math>x</math> et <math>y</math> sont dans <math>J_i</math>, qui est un idéal, donc <math>x-y\in J_i</math> et <math>ax\in J_i</math>, donc <math>x-y\in J</math> et <math>ax\in J</math>.
}}
 
La propriété précédente nous permet de considérer la notion d'idéal engendré par une partie :
 
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