« Polynôme/Définitions » : différence entre les versions
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| niveau = 14
}}
{{Page à recycler|auteur=Anne Bauval}}
Dans toute la suite, <math>
== Définitions ==
{{Définition
| titre =« Définition »
| contenu =
On appelle polynôme à indéterminée ''X'' tout « objet » de la forme :
:<math>P(X) = a_0 + a_1X + a_2X^2 + \dots + a_nX^n</math>, où <math>a_1, a_2, \dots, a_n \in
On notera <math>P \in
}}
Ligne 29 ⟶ 30 :
=== Coefficients et degré ===
Soit <math>P(X)=\sum_{k=0}^n a_k X^
{{Définition
Ligne 35 ⟶ 36 :
'''Coefficients :''' <math>a_0, a_1, \dots, a_n</math> sont appelés les coefficients de P.
'''Degré'''
Formellement, <math>\deg(P) = \max\{k\in\N
}}
{{Propriété
| contenu =
Soient <math>P,Q\in
* <math>\deg PQ = \deg P + \deg Q</math> ;
* <math>\deg (P+Q) \le \max(\deg P
}}
=== Unicité ===
Ligne 57 ⟶ 56 :
}}
{{Démonstration déroulante|titre=« Démonstration », à partir d'extrapolations de la « définition »
{{Démonstration▼
| contenu =
Montrons que l'écriture <math>M=a{X^n}</math> est unique.
Ligne 63 ⟶ 62 :
Soit <math>b \in \R</math> et <math>p \in \N</math>. Supposons que <math>M=a{X^n}</math> et <math>M=b{X^p}</math>.
En particulier, « si <math>X=1</math> », <math>M=a</math> et <math>M=b</math> donc <math>a=b</math>.
« Sinon », pour tout <math>X</math>, on a alors : <math>M=a{X^n}</math> et <math>M=a{X^p}</math>, donc <math>a{X^n}=a{X^p}</math>
* si <math>a=0</math>, <math>M=0</math>
* sinon, on a <math>{X^n}={X^p}</math> « donc » <math>{X^{n-p}}=1</math>,
et ainsi <math>n=p</math>. }}
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D'autres préfèrent écrire avec les indices dans l'autre sens, évidemment parce que cela a un intérêt :
Soit <math>(b_0,b_1,b_2,...,b_{n-1},b_n) \in \R^{n+1}</math>
et <math>P= b_n{x^0}+b_{n-1}{x^{1}}+...+b_2{x^{n-2}}+b_1{x^{n-1}}+b_0 {x^n}</math>. En voici la raison, du point de vue du physicien, souvent <math>b_0</math> est non nul et on ne considère que les polynômes unitaires (ce coefficient vaut 1), alors si la dimension de x est [L], la dimension de <math>b_k</math> est [ L^k], et cela est bien utile pour retenir certaines formules.
Ligne 118 ⟶ 121 :
Ensuite, il est facile de retrouver la théorie de Landau du changement de phase (il s'agit juste d’une translation du vocabulaire entre les deux disciplines).
== Structure de ''K''[''X''] ==
{{Théorème
| titre = Théorème et définition
| contenu =
Soient <math>P = \sum_{k=0}^
On définit sur <math>
* '''l'addition de deux polynômes''' : <math>P+Q = \sum_{k=0}^{n} (a_k+b_k) X^k</math>;▼
* '''
▲* '''
* '''le produit de deux polynômes''' : <math>PQ = \sum _{k=0}^{2n} c_k X^k</math>
où <math>c_k = \sum_{i=0}^k a_i b_{k-i}\ = \sum_{p+q=k}a_pb_q</math>
<math>(
* <math>(
* <math>(
*les lois <math>\cdot</math> et <math>\times</math> sont compatibles : <math>(\lambda\cdot P)\times Q=\lambda\cdot(P\times Q)=P\times(\lambda\cdot Q)</math>.
}}
Ligne 139 ⟶ 144 :
{{Exemple
| contenu =
Soient <math>P = X^2-3X+1</math> et <math> Q = X^3-5X+4</math> dans <math>\
En calculant <math>PQ</math> avec la distributivité, on trouve :
:<math>\begin{align}
Ligne 150 ⟶ 156 :
ce qui correspond au résultat ci-dessus.
En fait, il suffit pour comprendre de remarquer que <math>a_iX^
}}
{{Propriété
| titre = Propriété : Les unités de
| contenu =
Les « unités » (c'est-à-dire les éléments inversibles) de <math>
:<math>(
}}
▲{{Démonstration déroulante
| contenu =
Soit <math>P\in (
}}
On note <math>
{{Propriété
| titre = Propriété : Bases du ''K''-espace vectoriel ''K''[''X'']
| contenu =
La '''base canonique''' de <math>
* <math>
* <math>
Soit <math>(P_n)</math>
Alors, pour tout <math>n</math>
}}
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