« Polynôme/Définitions » : différence entre les versions

Contenu supprimé Contenu ajouté
m Robot : Remplacement de texte automatisé (- n'est pas + n’est pas , - Aujourd'hui + Aujourd’hui , - d'euros + d’euros , - d'agir + d’agir , - l'apparence + l’apparence )
relecture partielle et quelques rectifs, mais page à réécrire entièrement (cf. pdd)
Ligne 6 :
| niveau = 14
}}
{{Page à recycler|auteur=Anne Bauval}}
 
Dans toute la suite, <math>\mathbb{K}</math> représentera indistinctement le corps <math>\R</math> des [[Ensemble des nombres réels et sous-ensembles|réels]] ou celui <math>\C</math> des [[Nombre complexe|complexes]] (ou plus généralement un [[corps commutatif]] quelconque).
 
== Définitions ==
{{Définition
| titre =« Définition » Polynômedes polynômes
| contenu =
On appelle polynôme à indéterminée ''X'' tout « objet » de la forme :
:<math>P(X) = a_0 + a_1X + a_2X^2 + \dots + a_nX^n</math>, où <math>a_1, a_2, \dots, a_n \in \mathbb{K}</math>.
 
On notera <math>P \in \mathbb{K}[X]</math>.
}}
 
Ligne 29 ⟶ 30 :
=== Coefficients et degré ===
 
Soit <math>P(X)=\sum_{k=0}^n a_k X^{k} \in \mathbb{K}[X]</math>.
 
{{Définition
Ligne 35 ⟶ 36 :
'''Coefficients :''' <math>a_0, a_1, \dots, a_n</math> sont appelés les coefficients de P.
 
'''Degré''' Le: le degré d’un polynôme est l'exposant de la plus grande puissance de X à coefficient non nul. On le notera <math>\quad deg(P)</math> ou <math>\quadmathrm d^o(P)</math>.
 
Formellement, <math>\deg(P) = \max\{k\in\N ;\mid a_k\ne 0\}</math>.
}}
 
{{Propriété
| contenu =
Soient <math>P,Q\in \mathbb K[X]</math>. Alors :
* <math>\deg PQ = \deg P + \deg Q</math> ;
* <math>\deg (P+Q) \le \max(\deg P;,\deg Q)</math> avec égalité sauf si <math>\deg P = \deg Q</math> et si la somme des monômes de plus haut degré de <math>P</math> et <math>Q</math> est nulle.
}}
 
La preuve est laissée à titre d'exercice.
 
=== Unicité ===
Ligne 57 ⟶ 56 :
}}
 
{{Démonstration déroulante|titre=« Démonstration », à partir d'extrapolations de la « définition »
{{Démonstration
| contenu =
Montrons que l'écriture <math>M=a{X^n}</math> est unique.
Ligne 63 ⟶ 62 :
Soit <math>b \in \R</math> et <math>p \in \N</math>. Supposons que <math>M=a{X^n}</math> et <math>M=b{X^p}</math>.
 
En particulier, « si <math>X=1</math> », <math>M=a</math> et <math>M=b</math> donc <math>a=b</math>.
 
« Sinon », pour tout <math>X</math>, on a alors : <math>M=a{X^n}</math> et <math>M=a{X^p}</math>, donc <math>a{X^n}=a{X^p}</math>
* si <math>a=0</math>, <math>M=0</math>
* sinon, on a <math>{X^n}={X^p}</math> « donc » <math>{X^{n-p}}=1</math>, i.e.« c'est-à-dire » <math>n-p=0</math><br />

et ainsi <math>n=p</math>.
 
}}
Ligne 103 ⟶ 104 :
 
D'autres préfèrent écrire avec les indices dans l'autre sens, évidemment parce que cela a un intérêt :
Soit <math>(b_0,b_1,b_2,...,b_{n-1},b_n) \in \R^{n+1}</math>.<br />

et <math>P= b_n{x^0}+b_{n-1}{x^{1}}+...+b_2{x^{n-2}}+b_1{x^{n-1}}+b_0 {x^n}</math>.
 
En voici la raison, du point de vue du physicien, souvent <math>b_0</math> est non nul et on ne considère que les polynômes unitaires (ce coefficient vaut 1), alors si la dimension de x est [L], la dimension de <math>b_k</math> est [ L^k], et cela est bien utile pour retenir certaines formules.
Ligne 118 ⟶ 121 :
Ensuite, il est facile de retrouver la théorie de Landau du changement de phase (il s'agit juste d’une translation du vocabulaire entre les deux disciplines).
 
== Structure de ''K''[''X''] ==
 
{{Théorème
| titre = Théorème et définition
| contenu =
Soient <math>P = \sum_{k=0}^{n} a_kna_k X^k</math> et <math>Q = \sum_{k=0}^{n} b_knb_k X^k</math> deux polynômes et <math>\lambda\in \mathbb K</math> .<br />
 
On définit sur <math>\mathbb K[X]</math> les opérations suivantes :<br />
* '''l'addition de deux polynômes''' : <math>P+Q = \sum_{k=0}^{n} (a_k+b_k) X^k</math>;
* '''la multiplication d’un polynômel'addition parde undeux scalairepolynômes''' : <math>\lambda P+Q = \sum_{k=0}^{n}(\lambda a_k+b_k) X^k</math> ;
* '''l'additionla multiplication d’un polynôme depar deuxun polynômesscalaire''' : <math>\lambda P+Q = \sum_{k=0}^{n} (\lambda a_k+b_k) X^k</math> ;
* '''le produit de deux polynômes''' : <math>PQ = \sum _{k=0}^{2n} c_k X^k</math>
où <math>c_k = \sum_{i=0}^k a_i b_{k-i}\ = \sum_{p+q=k}a_pb_q</math> .
 
<math>(\mathbb K[X],+,.\cdot,\times)</math> est une [[Algèbre sur un corps|'''<math>\mathbb K</math>-algèbre''']], ce qui signifie que :
* <math>(\mathbb K[X],+,.\cdot)</math> est un ''<math>\mathbb K</math>-[[espace vectoriel]]'' ;
* <math>(\mathbb K[X],+,\times)</math> est un [[Anneau (mathématiques)|anneau]] (en plus, il est ''commutatif et intègre''). ;
*les lois <math>\cdot</math> et <math>\times</math> sont compatibles : <math>(\lambda\cdot P)\times Q=\lambda\cdot(P\times Q)=P\times(\lambda\cdot Q)</math>.
}}
 
Ligne 139 ⟶ 144 :
{{Exemple
| contenu =
Soient <math>P = X^2-3X+1</math> et <math> Q = X^3-5X+4</math> dans <math>\mathbb R[X]</math>.<br />
 
En calculant <math>PQ</math> avec la distributivité, on trouve :
:<math>\begin{align}
Ligne 150 ⟶ 156 :
ce qui correspond au résultat ci-dessus.
 
En fait, il suffit pour comprendre de remarquer que <math>a_iX^{i}\times b_{k-i}X^{k-i} = a_i b_{k-i}X^k</math> , ce qui explique un peu la formule.
}}
 
{{Propriété
| titre = Propriété : Les unités de lK''K''[''X'']
| contenu =
Les « unités » (c'est-à-dire les éléments inversibles) de <math>\mathbb K[X]</math> sont les polynômes constants non nuls. (quiEn s'identifientles identifiant avec leur constante), eton a donc :
:<math>(\mathbb K[X])^* {\times}= \mathbb K^*</math>.
}}
 
{{Démonstration déroulante
On remarque donc que <math>\mathbb K[X]</math> n’est pas un corps.
 
{{Démonstration
| contenu =
Soit <math>P\in (\mathbb K[X])^*{\times}</math> .Par définition, <math>P</math> est inversible, donc ilIl existe <math>Q = P^{-1}\in \mathbb K[X]</math> tel que <math>PQ = 1</math> .<br />
 
Donc, enEn particulier, <math>\deg P+\deg Q = \deg 1 = 0 \Rightarrow \deg P = \deg Q = 0</math> car les degrés sont des entiers naturels. On en déduit le résultat voulu.
}}
 
On note <math> \mathbb K_n[X]</math> l’ensemblele sous-espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à <math>n</math> (par convention, on pose <math>\deg 0 = -\infty < n</math> ).
 
 
{{Propriété
| titre = Propriété : Bases du ''K''-espace vectoriel ''K''[''X'']
| contenu =
La '''base canonique''' de <math>\mathbb K[X]</math> est <math>(1,X,X^2,\ldots,X^n,\ldots)</math> . En particulier :
* <math>\mathbb K[X]</math> est de dimension infinie ;
* <math> \mathbb K_n[X]</math> est de dimension '''''n'' + 1''' car <math>(1,X,X^2,\ldots,X^n)</math> en est la base canonique.
 
Soit <math>(P_n)</math> une famille de polynômes telle que <math>P_n</math> soit de degré <math>n</math>.
Alors, pour tout <math>n</math> , <math>(P_0, P_1,\ldots,P_n)</math> forme une base de <math> \mathbb K_n[X]</math>.
}}