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« Arithmétique/PGCD » : différence entre les versions

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Ligne 118 :
{{Propriété
| contenu =
Soient <math>(a,b)\in \Z^{*2}</math>, <math>d</math> le PGCD de <math>a</math> et <math>b</math>, et <math>a',b'</math> les entiers définis par <math>a=da'</math> et <math>b=db'</math>. Alors, <math>a'</math> et <math>b'</math> sont premiers entre eux.
<math>(a,b)\in \Z^{*2}</math>
 
Si <math>d=pgcd(a,b)</math> alors il existe des entiers relatifs <math>a'</math> et <math>b'</math> premiers entre eux tels que <math>a=da'</math> et <math>b=db'</math>.
}}
 
{{Démonstration déroulante|contenu=
<math>d|a \Rightarrow \exists a'\in \Z</math> telest quenon nul et divise <math>a=da'</math>. De même,et <math>\exists b'\in \Z</math> teldonc que <math>b=db'</math>.:
*<math>a':=\frac ad</math> et <math>b':=\frac bd</math> sont bien définis et sont bien des entiers ;
 
Donc : *<math>d=pgcd(a',b')=\frac{pgcd(da',db')=}d=\times frac{pgcd(a',b')}d=1</math>.
 
Or <math>d\ge 1 \Rightarrow d\neq 0, pgcd(a',b')=1</math>
}}
 
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