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« Équation différentielle/Équation différentielle linéaire du premier ordre » : différence entre les versions

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}}
 
== Équations différentielles linéairelinéaires du premier ordre ==
:<math>(E): \forall x \in \mathbb R, \quad a\left(x \right) f'\left(x\right) + b\left( x \right) f\left(x\right) = c\left(x\right) </math>.▼
 
(Pour les définitions, revoir le [[../Définition|chapitre 1]].)
{{Définition
| contenu =
Soient <math>\quad a</math>, <math>\quad b</math> et <math>\quad c</math> trois fonctions de la variable réelle <math>\quad x</math>, <math>\quad a</math> ne s'annulant pas.
 
Soit <math>\quad f</math> une fonction de <math>\scriptstyle \mathbb R</math> dans <math>\scriptstyle \mathbb C</math> dérivable.
 
Une '''équation différentielle linéaire d'ordre un''' est alors une relation de la forme :
 
▲<math>(E): \forall x \in \mathbb R, \quad a\left(x \right) f'\left(x\right) + b\left( x \right) f\left(x\right) = c\left(x\right) </math>
}}▼
 
==== Solutions d'une E.D.L ====
 
{{Définition
| contenu =
On appelle '''solution de l'équation différentielle''' toute fonction dérivable vérifiant la relation concernée.
}}
 
==== Équation homogène associée ====
 
{{Définition
| contenu =
 
L’'''équation différentielle linéaire homogène d'ordre un''' associée à l'équation <math>\quad (E)</math> est :
 
<math>(E_0):\forall x \in \mathbb R, \quad a\left(x\right) f'\left(x\right) + b\left(x\right)f\left(x\right) = 0</math>▼
 
}}
 
==== Exemple ====
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| exercice = [[Équation différentielle/Exercices/Équation différentielle linéaire du premier ordre|Équation différentielle linéaire du premier ordre]]
}}
''Préciser les valeurs de <math>\quad a(x)</math>, <math>\quad b(x)</math> et <math>\quad c(x)</math> dans l'équation suivante et donner l'équation homogène associée.''
 
* <math>xf'(x)-3f(x)=\sin x</math>{{clr}}
Ligne 58 ⟶ 31 :
}}
 
''Préciser les valeurs de <math>\quad a(t)</math>, <math>\quad b(t)</math> et <math>\quad c(t)</math> dans l'équation suivante et donner l'équation homogène associée, sachant que la variable est <math>t</math> et que la fonction inconnue est notée <math>y</math>.''
''sachant que la variable est <math>\quad t</math> et que la fonction inconnue est notée <math>\quad y</math>.''
 
* <math>t^2y'(t)-3y(t)=\sin(t)</math>
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La linéarité d'une équation différentielle a des conséquences importantes facilitant la recherche de solutions.
 
* Les solutions d'une équation différentielle linéaire ''homogène'' forment un [[Espace vectoriel/Définitions#Sous-espace vectoriel|sous-espace affinevectoriel]] de l'''[[espace affinevectoriel]]'' des fonctions. Dans le cas d'une équation d'ordre 1, cetce sous-espace est de [[Espace vectoriel/Dimension|dimension]] 1. ▼
 
* Les solutions d'une équation différentielle linéaire homogène forment un sous-espace vectorielaffine de l'''[[w:Espace affine|espace vectorielaffine]]'' des fonctions. DansSa ledirection casest d'une équation d'ordre 1, cele sous-espace estvectoriel des solution de dimensionl'équation 1.homogène associée.
▲* Les solutions d'une équation différentielle linéaire forment un sous-espace affine de l'espace affine des fonctions. Dans le cas d'une équation d'ordre 1, cet espace est de dimension 1.
 
 
 
Ces considérations géométriques donnent le théorème suivant, très important dans la résolution en pratique.
 
{{Théorème
| contenu=
Les solutions d'une équation différentielle linéaire d'ordre un1 sont la somme d'une solution à l'équation homogène associée et d'une solution particulière de l'équation complète.
}}
 
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* L'ensemble des solutions d'une E.D.L. du premier ordre étant un espace vectoriel de dimension 1,
*:le fait de fixer une seule valeur de la fonction solution suffit à la définir parfaitement.
 
* Le sens physique de cette remarque est très intuitif :
:**un système physique régi par une équation différentielle du premier ordre voit son état déterminé par un seul nombre <math>\quad f(x)</math> qui dépend de la variable <math>\quad x</math> (en général le temps),<br />;
:**la connaissance de cet état à un instant donné (disons l'instant <math>\quad t=0</math> par exemple) détermine l'état du système à tout instant. C'est ce qu'on appelle la ''condition initiale''.
 
C'est ce qu'on appelle la ''condition initiale''.
 
{{Théorème
| titre=Théorème de [[w:Augustin Louis Cauchy|Cauchy]]|contenu=
Deux nombres <math>\quad x_0</math> et <math>\quad y_0</math> étant donnés, il '''existe''' une '''unique''' solution à une équation différentielle linéaire d'ordre un1 vérifiant <math>\quad f(x_0) = y_0</math>.
}}
 
== Équations différentielles linéaires du premier ordre à coefficients constants ==
▲:<math>(E_0):\forall x \in \mathbb R, \quad a\left(x\right) faf'\left(x\right) + bbf\left(x\right)f = c\left(x\right) = 0</math>
 
(Pour les définitions, revoir le [[../Définition|chapitre 1]].)
 
 
 
{{Définition
| contenu =
 
 
* Soient <math>\quad a</math>, <math>\quad b</math> et <math>\quad c</math> trois nombres complexes, <math>\quad a</math> étant non-nul. Soit <math>\quad f</math> une fonction de <math>\scriptstyle \mathbb R</math> dans <math>\scriptstyle \mathbb C</math> dérivable. Une '''équation différentielle ordinaire linéaire d'ordre un à coefficients constants''' est alors une relation de la forme :
<math>\forall x \in \mathbb R, \quad af'\left(x\right) + bf\left(x\right) = c</math>
 
* L’'''équation différentielle ordinaire linéaire homogène d'ordre un à coefficients constants''' associée à cette dernière est :
 
<math>\forall x \in \mathbb R, \quad af'\left(x\right) + bf\left(x\right) = 0</math>
 
}}
 
==== Solutions de l'équation homogène ====
{{Théorème
| contenu=
* L'ensemble des solutions de l'équation homogène est<math>af'\left(x\right) :+ bf\left(x\right) =0</math>S_0 =est <math>\left\{ Ae^{-\frac{b}{a}x} bax}\,mid | \,A \in \mathbb C \right\}</math>.}}
▲}}
 
==== Solutions de l'équation complète ====
Ligne 133 ⟶ 85 :
{{Théorème
| contenu=
*Dans Lle cas particulier où le second membre <math>c</math> est également constant, l'ensemble des solutions de l'équation complète <math>af'\left(x\right) + bf\left(x\right) =c</math> est : <math>S = \left \{ Ae^{-\frac{b}{a}x bax} + \frac{c}{b} cb\,mid | \,A \in \mathbb C \right \}</math>.
}}
 
Ligne 141 ⟶ 93 :
|exercice=[[Équation différentielle/Exercices/Équation différentielle linéaire du premier ordre|Équation différentielle linéaire du premier ordre]]
}}
'''Remarque :''' Dans les exemples, la fonction <math>\quad f</math> est souvent nommée <math>\quad y</math>, en omettant la variable <math>\quad x</math>.
 
''Résoudre les équations suivantes.''
Ligne 240 ⟶ 192 :
 
=== Remarques ===
Il est intéressant de remarquer la stabilité des systèmes décrits par de telles équations. En effet, si ''a'' et ''b'' sont réels de même signe, il existe toujours un régime de stabilité lorsque <math>\scriptstyle t \to \infty</math>. Si ''a'' et ''b'' sont réels de signe opposé, le système est instable et la solution tend exponentiellement vers <math>\scriptstyle \pm \infty</math>.
 
== Cas général : Équationséquations à coefficients variables ==
 
==== Équation homogène associée ====
 
{{Définition
| contenu =
 
L’'''équation différentielle linéaire homogène d'ordre un''' associée à l'équation (E) est :
 
<math>(E_0)\forall x \in \mathbb R, \quad a\left(x\right) f'\left(x\right) + b\left(x\right)f\left(x\right) = 0</math>}}
<br />
{{Théorème
| titre=Solutions de l'équation homogène|contenu=
L'ensemble des solutions de l'équation différentielle homogène d<math>a\left(x\right) f'ordre\left(x\right) + b\left(x\right)f\left(x\right) = un0</math> est :
<math>S_0 = \left\{ A e^{-\Phi \left(x \right)} |\mid A \in \mathbb C\right\}</math>
 
où <math>\Phi</math> est une primitive de : <math>x \mapsto \frac{b(x)}{a(x)} </math>.}}
Ligne 263 ⟶ 207 :
La fonction ''a'' ne s'annulant pas, on peut librement redéfinir ''b'' et ''c'' pour avoir un coefficient 1 devant la dérivée de ''f''. Considérons par ailleurs l'équation homogène dans un premier temps. On cherche donc à résoudre :
 
<math>f' + \frac{b(x)}{a(x)}f = 0</math>.
 
Soit <math>\Phi</math> une primitive de la fonction <math>\frac{b}{a}</math>, par exemple :
Ligne 277 ⟶ 221 :
{{Théorème
| titre=Solution complète de l'équation différentielle|contenu=
L'ensemble des solutions générales de l'équation différentielle d'ordre un1 est :
 
<math>S = \left \{ \left[ A + \int_{x_0}^{x} \frac{c\left(s\right)}{a\left(s\right)} e^{+\Phi\left(s\right)}\, \mathrm ds \right] \cdot e^{- \Phi \left( x \right)} \, | \,mid A \in \mathbb C \right \}</math>
 
avec
Avec
 
<math>\Phi : x \mapsto \int_{x_0}^{x} \frac{b(t)}{a(t)} \, \mathrm dt</math>.
}}
 
<br />
{{Démonstration déroulante|contenu =
Pour terminer la résolution, employons la méthode de « variation de la constante », qui consiste à rechercher des solutions particulières de la forme :
Ligne 336 ⟶ 280 :
On a ainsi l'équation :
 
<math>m(t)v'(t) + v(t)m'(t) = F_0 \sin(\omega_0 t)</math>.
 
 
Posons le problème sous la forme canonique :
<math>v'(t) + \frac{m'(t)}{m(t)}v(t) - \frac{F_0}{m(t)} \sin(\omega_0 t) = 0 </math>.
 
Les solutions sont, d’après la formule générale, de la forme :
Ligne 346 ⟶ 289 :
<math>v(t) = \left[ A + \int_{0}^{t} \frac{F_0}{m(s)} \sin(\omega_0 s) e^{+\Phi\left(s\right)}\, \mathrm ds \right] \cdot e^{- \Phi \left( t \right)}</math>
 
avec
Avec
 
<math>\Phi : t \mapsto \int_{0}^{t} \frac{m'(s)}{m(s)} \, \mathrm ds = \ln m(t)</math>.
 
Doncdonc :
 
<math>v(t) = - Am(t) - F_0 \int_{0}^{t} \sin(\omega_0 s) m(s)\, \mathrm ds </math>.
 
On note ''v₀v''₀ la vitesse à l'origine des temps, alors, trivialement, ''A = -v₀v''₀. Pour conserver l'homogénéité, indiquons toutefois la masse ''m₀m''₀ = 1. La solution est donc :
 
<math>v(t) = \frac{m(t)}{m_0}v_0 - F_0 \int_{0}^{t} \sin(\omega_0 s) m(s)\, \mathrm ds </math>.
 
Sans préciser ''m'' davantage, on ne peut pas en dire plus — mais c’est déjà beaucoup. Celle-ci connue, une intégration par parties suffira probablement à déterminer complètement ''v''.
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