« Réduction des endomorphismes/Exponentielle d'une matrice » : différence entre les versions

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L'exponentielle matricielle n'est définiela quegénéralisation pournaturelle lesaux matrices carrées. On(ici se: limiteraà icicoefficients auxcomplexes) matricesde réellesla ou[[Série complexesentière/Fonction exponentielle|série entière exponentielle]], définie sur <math>\C</math>.
 
== Définition ==
{{Définition
| contenu ={{Wikipédia|Exponentielle d'une matrice}}
Soit '''<math>A'''</math> une matrice carrée ''n'' × ''n''. L'exponentielle de '''<math>A'''</math>, notée <math>exp(\mathbfexp A)</math> ou <math>\mathrm e^A</math>, est la matrice définie par
 
<math>\exp A=\sum_{k\in\N}\frac{A^k}{k!}</math>. Cette série est [[w:Convergence normale|normalement convergente]] sur toute partie bornée de <math>\mathrm M_n\left(\C\right)</math>.
Soit '''A''' une matrice carrée ''n × n''. L'exponentielle de '''A''', notée <math>exp(\mathbf A)</math> ou <math>e^A</math> est la matrice définie par
<math>exp( \mathbf A)=\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{\mathbf A ^k}{k!}</math>
}}
 
{{Démonstration déroulante|titrecontenu=Démonstration de l’existence de l'exponentielle
Toutes les normes sur <math>\mathrm M_n\left(\C\right)</math> étant équivalentes, on peut utiliser une [[w:Algèbre normée|norme d'algèbre]], c'est-à-dire vérifiant <math>\|AB\|\le\|A\|\|B\|</math>, par exemple une [[Espaces vectoriels normés/Limites et continuité|norme subordonnée]].
| contenu =
On démontre que la série <math>\sum \frac{A^k}{k!}</math> converge normalement.
 
Toutes les normes étant équivalentes, on peut utiliser une norme subordonnée. Rappel : une norme subordonnée vérifie
<math>|||A \cdot B||| \leq |||A||| . |||B|||</math> donc en particulier <math>|||A^k||| \leq |||A|||^k</math>
 
Soit <math>E</math> une partie bornée de <math>\mathrm M_n\left(\C\right)</math>. Il existe donc <math>M\ge0</math> tel que
Ainsi <math>\left| \left| \left| \frac{A^k}{k!} \right| \right| \right| \leq \frac{|||A|||^k}{k!}</math>. Et comme la série <math>\sum \frac{|||A|||^k}{k!}</math> converge (série exponentielle dans <math>\mathbb C</math>), on a bien convergence normale de la série <math>\sum A^k</math>
:<math>\forall A\in E\quad\|A\|\le M</math>.
On a alors pour tout <math>k\in\N^*</math> et pour tout <math>A\in E</math> :
:<math>\left\|\frac{A^k}{k!}\right\|\le\frac{\|A\|^k}{k!}\le\frac{M^k}{k!}</math>.
Or <math>\sum_{k\in\N}\frac{M^k}{k!}=\mathrm e^M<+\infty</math>, ce qui montre la convergence normale.
}}