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« Intégration de Riemann/Intégrale de Riemann » : différence entre les versions

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Ligne 63 :
| titre = Définition : fonction continue par morceaux
| contenu =
Une fonction <math>f : [a;,b] \to \R</math> est dite '''continue par morceaux''' s'il existe une subdivision <math>a = a_1 < a_2 < \cdots < a_n = b \;\;(n \in \mathbb N)</math> de <math>[a;,b]</math> telle que pour tout entier <math>i</math> de <math>1</math> à <math>n-1</math>, <math>f</math> soit continue sur <math>]a_i;,a_{i+1}[</math> et admette une limite à droite en <math>a_i</math> et une limite à gauche en <math>a_{i+1}</math>.
}}
 
'''Notation :''' on notera <math>\mathcal {CM}([a;,b])</math> l’ensemble des fonctions continues par morceaux sur <math>[a;,b]</math>.
 
{{Propriété
| titre = Propriété : approximation d'une fonction continue par morceaux par une fonction en escalier
| contenu =
Soit <math>f\in \mathcal {CM}([a;,b])</math> .<br />
<center>{{Encadre|contenu=<math>\forall \varepsilon >0 , \quad\exist \psi,\varphi \in \mathcal E([a;,b]) \;|\; quad\psi \le f \le \varphi \mathrmtext{\; et\; } \varphi - \psi \le \varepsilon</math>}}.</center>
}}
 
{{boîteDémonstration déroulante|contenu=
| contenu = On fait la preuve seulement pour <math>f</math> continue : dans le cas général, on se place sur chacun des intervalles où la fonction est continue et on applique le résultat démontré ici.<br />▼
| titre = Démonstration
 
▲ | contenu = On fait la preuve seulement pour <math>f</math> continue : dans le cas général, on se place sur chacun des intervalles où la fonction est continue et on applique le résultat démontré ici.<br />
<math>f</math> est continue sur l'intervalle fermé borné <math>[a;,b]</math> donc elle y est [[Fonctions d'une variable réelle/Continuité uniforme|uniformément continue d’après le Théorèmethéorème de Heine]]. On a donc :<br />
<center><math>\forall \varepsilon >0 , \quad\exist \delta_{\varepsilon}delta>0|\quad\forall x,y \in [a;,b] , \quad\left(|x-y|< \delta_{\varepsilon} delta\Rightarrow |f(x)-f(y)|<\varepsilon\right)</math>.</center><br />
Soit <math>\varepsilon>0</math> et soit <math>(a_1;,a_2;,\ldots;dots,a_n)</math> une subdivision de <math>[a;,b]</math> telle que <math>\forall i \in [1;,n]\cap \mathbb N, \;quad a_{i+1}-a_i = \frac{b-a}{n} < \delta_{\varepsilon}delta</math> .<br />
 
On construit alors les fonctions <math>\psi,\varphi \in \mathcal E([a;b])</math> définies par :<br />
*On construit alors les fonctions <math>\psi(x) = m_i,\varphi = \min_{x\in \mathcal E([a_ia;a_{i+1}b]}f(x)</math> ;définies par :
* <math>\varphipsi(x) = M_im_i = \max_min_{x\in [a_i;,a_{i+1}]}f(x)</math> .;
* <math>\varphi(x) = M_i = \max_{x\in [a_i,a_{i+1}]}f(x)</math>.
La continuité uniforme et la définition du minimum et du maximum (qui existent bien, puisque <math>f</math> est continue sur l'intervalle fermé borné <math>[a;,b]</math>) permettent alors de conclure.
}}
 
Ligne 91 ⟶ 92 :
| contenu =
On note :
* <math>\mathcal E^- =\{\psi \in \mathcal E([a;,b])\;|\;mid\psi \le f\}</math> et <math>\mathcal I^- = \left\{\int_a^b \psi(x)\mathrm{d}x \;| \;mid\psi \in \mathcal E^-\right\}</math>
* <math>\mathcal E^+ =\{\varphi \in \mathcal E([a;,b])\;|\;mid\varphi \ge f\}</math> et <math>\mathcal I^+ = \left\{\int_a^b \varphi(x)\mathrm{d}x \;|\; mid\varphi \in \mathcal E^+\right\}</math>.
La fonction <math>f</math> est dite '''intégrable au sens de Riemann''' si, et seulement si :<br />
<center><math>\mathcal I:= \inf \mathcal I^+ = \sup \mathcal I^-</math>.</center><br /> ce qui achève la démonstration.}}▼
<center>
De plus, '''le nombre réel''' <math>\mathcal I</math> est '''l'intégrale de la fonction <math>f</math> sur <math>[a;,b]</math> ''' :<br />▼
{{Résultat
| <center><math>\mathcalint_a^b I =f(x) \inf \mathcal I^+mathrm{d}x = \sup \mathcal I^-</math>.</center>
}}
</center>
▲De plus, '''le nombre réel''' <math>\mathcal I</math> est '''l'intégrale de la fonction <math>f</math> sur <math>[a;b]</math> ''' :<br />
<center>{{Encadre|contenu=<math>\int_a^b f(x) \mathrm{d}x = \mathcal I</math>}}</center>
}}
 
<u>Remarque :</u> la variable d'intégration est "« muette" » : cela signifie que <br />
<center><math>\int_a^b f(x) \mathrm{d}x = \int_a^b f(t) \mathrm{d}t =\int_a^b f(u) \mathrm{d}u</math>.</center>
 
Ligne 111 ⟶ 108 :
}}
 
{{boîteDémonstration déroulante|titre = Démonstration|contenu =
On fait la preuve seulement pour <math>f</math> continue : dans le cas général, on se place sur chacun des intervalles où la fonction est continue et on applique le résultat démontré ici.<br />
 
Il est clair que <math>\inf \mathcal I^+ \le \sup \mathcal I^-</math>, si ces nombres existent (cette inégalité vient de la définition même de <math>\mathcal I^+ </math> et <math>\mathcal I^- </math> ).<br />
D'aprèsIl laest propriétéclair précédente, sique <math>f</math>\inf est\mathcal continueI^+ sur\le <math>[a;b]\sup \mathcal I^-</math> , alorssi ilces existenombres deuxexistent fonctions(cette <math>\psi</math>inégalité etvient <math>\varphi</math>de enla escalierdéfinition telles que (enmême fixantde <math>\varepsilon>0</math>)mathcal <math>\psiI^+ \le f \le \varphi</math> et <math>\varphimathcal I^-\psi<\varepsilon </math> ).<br />
 
On peut montrer (ce sera fait dans le cours sur les propriétés de l'intégrale) que <math>\varphi-\psi<\varepsilon \Rightarrow \int_a^b \varphi(x)-\psi(x) \mathrm{d}x < \int_a^b \varepsilon \mathrm{d}x = \varepsilon(b-a)</math>. <br />▼
D'après la propriété précédente, si <math>f</math> est continue sur <math>[a,b]</math>, alors il existe deux fonctions <math>\psi</math> et <math>\varphi</math> en escalier telles que (en fixant <math>\varepsilon>0</math>) <math>\psi \le f \le \varphi</math> et <math>\varphi-\psi<\varepsilon</math>.
Mais comme cela est vrai '''pour tout''' <math>\varepsilon >0</math> , cela signifie par passage à la limite que les bornes inférieures et supérieures annoncées existent et qu’elles vérifient la propriété :<br />▼
 
▲<center><math>\inf \mathcal I^+ = \sup \mathcal I^-</math></center><br /> ce qui achève la démonstration.}}
▲On peut montrer (ce sera fait dans le cours sur les propriétés de l'intégrale) que <math>\varphi-\psi<\varepsilon \Rightarrow \int_a^b \varphi(x)-\psi(x) \mathrm{d}x < \int_a^b \varepsilon \mathrm{d}x = \varepsilon(b-a)</math>. <br />
 
▲Mais comme cela est vrai '''pour tout''' <math>\varepsilon >0</math> , cela signifie par passage à la limite que les bornes inférieuresinférieure et supérieuressupérieure annoncées existentsont finies et qu’elleségales, vérifientce laqui propriétéachève :<brla />démonstration.}}
 
<u>Remarque :</u> En fait, l’ensemble des fonctions Riemann-intégrables est plus vaste que l’ensemble des fonctions continues par morceaux et on ne peut le décrire précisément.<br /> Par exemple, la fonction <math>f : x \mapsto \begin{cases} 0, & \text{si } x \in \R-\mathbb Q \\ \frac{1}{q}, & \text{si } x = \frac{p}{q} \mathrm {\;avec\;}p\mathrm{\;et\;}q \mathrm{\;premiers \;entre \;eux} \end{cases}</math> est Riemann-intégrable sur <math>\R</math> , alors que la fonction <math>g : x \mapsto \begin{cases} 0, & \text{si } x \in \R-\mathbb Q \\ 1, & \text{si } x \in \mathbb Q \end{cases}</math> n’est pas Riemann-intégrable.
 
Par exemple, la fonction <math>f : x \mapsto \begin{cases} 0, & \text{si } x \in \R\setminus\Q \\ \frac1q, & \text{si } x = \frac pq\mathrm {\;avec\;}p\mathrm{\;et\;}q \mathrm{\;premiers \;entre \;eux} \end{cases}</math> est Riemann-intégrable sur <math>\R</math>, alors que la fonction <math>g : x \mapsto \begin{cases} 0, & \text{si } x \in\R\setminus\Q\\ 1, & \text{si } x \in\Q \end{cases}</math> n’est pas Riemann-intégrable.
 
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