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« Fonction logarithme/Définition du logarithme néperien » : différence entre les versions

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=== Problématique ===
Si <math>n\ne1</math>, une [[Intégration en mathématiques/Primitives|primitive]] de <math>x\mapsto x^{-n}</math> est <math>x\mapsto\frac{x^{-n+1}}{-n+1}</math> mais pour <math>n=1</math>, on n'a rien de tel.
 
Lorsqu'on cherche une primitive de <math>x\mapsto\frac1x</math> comme on chercherait celle de <math>x\mapsto\frac1{x^2}</math>, on essaye <math>x\mapsto\frac1{x^0}</math> car l’exposant doit augmenter de 1 à la dérivation. Or, <math>\frac1{x^0}=\frac11=1</math>, donc sa dérivée est nulle...
On pourraitne démontrertrouve quepas de primitive de <math>x\mapsto\frac1x</math> n’a pas de primitive parmi les fonctions usuelles. Pourtant, cette fonction étant continue sur <math>\R^{+*}</math>, [[Intégration en mathématiques/Intégrale et primitives|un théorème nous assure l’existence d’une primitive]].
Pourtant, la fonction étant continue sur <math>\R^{+*}</math> , un théorème nous assure l’existence d’une primitive…
 
=== Définition de la fonction logarithme népérien ===
Ligne 32 ⟶ 30 :
{{Définition
| contenu =
On appelle fonction logarithme népérien et on note <math>\ln </math>
 
:l’unique primitive de <math>x\mapsto\frac1x</math> sur <math>\R^{+*}</math> qui s'annule en ''<math>x = 1''</math>.}}
Autrement dit :
 
* Pourpour tout <math>x\in\R^{+*},~\ln'(x)=\frac1x</math> ;▼
 
* <math>\ln(1)=0</math>.}}▼
{{Propriété
| contenu =
▲* Pour tout <math>x\in\R^{+*},~\ln'(x)=\frac1x</math>
▲* ln(1)=0}}
 
=== Logarithme népérien d’un nombre réel strictement positif ===
Ligne 46 ⟶ 41 :
{{Définition
| contenu =
Le logarithme népérien d’un nombre réel <math>x>0</math> est son image par la fonction logarithme népérien définie ci-dessus. On le note ''donc <math>\ln(x)''</math>.
}}
 
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