« Calcul différentiel/Exercices/Examen » : différence entre les versions

 

==Ex. I==

#On remarque que <math>t\mapsto 0</math> est solution de l'équation et satisfait les mêmes conditions initiales en <math>t_0</math> que <math>\phi</math> : par unicité des solutions, on en déduit que <math>\phi\equiv 0</math>.<br />Ainsi, si une solution <math>\phi\not\equiv 0</math> s'annule en un point <math>t_0</math>, alors <math>\phi'(t_0)\neq0</math>. Au voisinage de <math>t_0</math> on a <math>\phi(t_0+h)=\phi'(t_0)h +h\epsilon(h)=h(\phi'(t_0)+\epsilon(h))</math> avec <math>\lim_{h\to0}\epsilon(h)=0</math>. Si <math>\phi'(0)\neq0</math>, il existe un voisinage de <math>0</math> sur lequel <math>(t_0)+\epsilon(h))</math> ne s'annule pas, et donc un voisinage de <math>t_0</math> sur lequel <math>\phi</math> ne s'annule qu'en <math>t_0</math>.

# <math>\lambda\phi+\mu\psi</math> est une solution de <math>(E)</math>. De plus <math>[\lambda\phi+\mu\psi](t_0)=0</math> et <math>[\lambda\phi+\mu\psi]'(t_0)=0</math>. On en déduit que <math>\lambda\phi+\mu\psi\equiv 0</math>, et donc que <math>\phi</math> et <math>\psi</math> ne sont pas linéairement indépendantes.<br />Ainsi, si <math>\phi</math> et <math>\psi</math> sont linéairement indépendantes, elles n'ont pas de zéro commun.

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