« Calcul différentiel/Exercices/Examen » : différence entre les versions
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Ligne 130 :
\right)</math>, on obtient bien <math>y''+a(t)y'+b(t)y=0 \Leftrightarrow Y'=A(t)Y</math>.
#L'équation différentielle <math>(E')</math> est une équation linéaire à coefficients continus définis sur <math>\R</math>, donc par toute condition initiale <math>(t_0,(y_0,v_0))</math> il passe une et une seule solution maximale, et celle-ci est définie sur <math>\R</math>.
#On remarque que <math>t\mapsto 0</math> est solution de l'équation et satisfait les mêmes conditions initiales en <math>t_0</math> que <math>\phi</math> : par unicité des solutions, on en déduit que <math>\phi\equiv 0</math>.<br />Ainsi, si une solution <math>\phi\not\equiv 0</math> s'annule en un point <math>t_0</math>, alors <math>\phi'(t_0)\neq0</math>. Au voisinage de <math>t_0</math> on a <math>\phi(t_0+h)=\phi'(t_0)h +h\epsilon(h)=h(\phi'(t_0)+\epsilon(h))</math> avec <math>\lim_{h\to0}\epsilon(h)=0</math>.
# <math>\lambda\phi+\mu\psi</math> est une solution de <math>(E)</math>. De plus <math>[\lambda\phi+\mu\psi](t_0)=0</math> et <math>[\lambda\phi+\mu\psi]'(t_0)=0</math>. On en déduit que <math>\lambda\phi+\mu\psi\equiv 0</math>, et donc que <math>\phi</math> et <math>\psi</math> ne sont pas linéairement indépendantes.<br />Ainsi, si <math>\phi</math> et <math>\psi</math> sont linéairement indépendantes, elles n'ont pas de zéro commun.
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