« Continuité et variations/Théorème des valeurs intermédiaires » : différence entre les versions

 
{{Théorème
| contenu={{Wikipédia|Théorème des valeurs intermédiaires}}
| contenu=
 
Soit <math>f</math> une fonction '''continue''' sur un intervalle <math>I</math> et <math>(\left[a, b) \in I^2right]</math> .
 
Pour tout réel <math>ku</math> telcompris que :entre <math>f(a)\leq</math> k\leqet <math>f(b)</math>,
 
il existe (au moins) un réel <math>c \in \left[a;,b\right]</math> vérifianttel l'équation :que <math>u=f(c)=k</math>.
}}
 
{{Démonstration déroulante|titre=Démonstration |contenu=Quitte à considérer <math>-f</math> et passer le problème à l'opposé, on peut supposer <math>f(a) \leq f(b)</math>.
Quitte à considérer <math>-f</math> et passer le problème à l'opposé, on peut supposer <math>f(a) \leq f(b)</math>.
 
La méthode de dichotomie consiste à construire une suite d'intervalles ''I{{ind|n}}'' = [''a{{ind|n}}'', ''b{{ind|n}}''] tels que pour tout ''n'' :
Soit <math> y \in [f(a), f(b)]</math>. On souhaite établir l’existence de <math>x\in[a,b]</math> vérifiant <math>f(x) = y</math>.
* ''I''{{ind|''n''+1}} soit inclus dans ''I{{ind|n}}''
* la longueur de ''I''{{ind|''n''+1}} soit la moitié de celle de ''I{{ind|n}}''
* ''f''(''a{{ind|n}}'') ≤ ''u'' ≤ ''f''(''b{{ind|n}}'').
On procède de la manière suivante :
* on pose initialement ''I''{{ind|0}} = [''a'', ''b''] ;
* quand, à un rang ''n'', l'intervalle ''I{{ind|n}}'' est construit, on note ''m{{ind|n}}'' son milieu et
** si ''f''(''m{{ind|n}}'') < ''u'', on prend pour ''I''{{ind|''n''+1}} l'intervalle [''m{{ind|n}}'', ''b{{ind|n}}''] et l'on pose ''a''{{ind|''n''+1}} = ''m{{ind|n}}'' et ''b''{{ind|''n''+1}} = ''b{{ind|n}}'' ;
** si ''f''(''m{{ind|n}}'') ≥ ''u'', on prend pour ''I''{{ind|''n''+1}} l'intervalle [''a{{ind|n}}'', ''m{{ind|n}}''] et l'on pose ''a''{{ind|''n''+1}} = ''a{{ind|n}}'' et ''b''{{ind|''n''+1}} = ''m{{ind|n}}''.
 
Les suites (''a{{ind|n}}'') et (''b{{ind|n}}'') sont alors ''[[Introduction aux suites numériques/Suites adjacentes|adjacentes]]'' : en effet, la première est croissante (au sens large), la seconde est décroissante, et la différence entre les deux suites est égale à la longueur de ''I{{ind|n}}'', soit (''b – a'')/2{{exp|''n''}} qui tend vers 0.
On va construire par un procédé dichotomique deux suites adjacentes <math>(a_n)_{n\in\mathbb N}</math> et <math>(b_n)_{n\in\mathbb N}</math> dont la limite commune sera un <math>x</math> tel que <math>f(x) = y</math>.
 
Ces deux suites convergent donc vers une même limite ''c''. Comme ''f'' est continue, les suites (''f''(''a{{ind|n}}'')) et (''f''(''b{{ind|n}}'')) convergent vers ''f''(''c'').
''Etape initiale :''
 
Comme, d'autre part, ''f''(''a{{ind|n}}'') ≤ ''u'' pour tout ''n'', on obtient ''f''(''c'') ≤ ''u'' par passage à la limite.
On pose <math>a_0 = a</math> et <math>b_0 = b</math>, on vérifie <math>f(a_0) \leq y \leq f(b_0)</math>.
 
Comme, enfin, ''f''(''b{{ind|n}}'') ≥ ''u'' pour tout ''n'', on obtient ''f''(''c'') ≥ ''u'' par passage à la limite.
''Etape 1 :''
 
Il en résulte que ''f''(''c'') = ''u''.
On introduit <math>d = \dfrac{a_0+b_0}{2}</math>.
 
Si <math>f(d) \leq y</math>, on pose <math>a_1 = d</math> et <math>b_1 = b_0</math>.
 
Si <math>f(d) > y</math>, on pose <math>a_1 = a_0</math> et <math>b_1 = d</math>.
 
Dans les deux cas, on vérifie <math>f(a_1) \leq y \leq f(b_1)</math>.
 
''Etape n+1 :''
 
On introduit <math>d = \dfrac{a_n+b_n}{2}</math>.
 
Si <math>f(d) \leq y</math>, on pose <math>a_{n+1} = d</math> et <math>b_{n+1} = b_n</math>.
 
Si <math>f(d) > y</math>, on pose <math>a_{n+1} = a_n</math> et <math>b_{n+1} = d</math>.
 
Dans les deux cas, on vérifie <math>f(a_{n+1}) \leq y \leq f(b_{n+1})</math>.
 
On définit ainsi deux suites <math>(a_n)_{n\in\mathbb N}</math> et <math>(b_n)_{n\in\mathbb N}</math>, et par construction on vérifie :
 
<center><math>\forall n\in\mathbb N \;,\; a_{n+1} \geq a_n \;,\; b_{n+1} \leq b_n \;\;\mathrm{et}\;\; b_{n+1} - a_{n+1} = \dfrac{b_n - a_n}{2}</math></center>
 
La suite <math>(a_n)</math> est croissante, la suite <math>(b_n)</math> est décroissante et <math>b_n - a_n = \dfrac{b-a}{2^n} \;\xrightarrow[n\to+\infty]{}\;0</math>.
 
Ainsi ces deux suites sont adjacentes.
 
Notons <math>x</math> leur limite commune. Puisque <math>a_n \longrightarrow x</math> et <math>b_n \longrightarrow x</math>, on a <math>f(a_n) \longrightarrow f(x)</math> et <math>f(b_n) \longrightarrow f(x)</math>.
 
Or, pour tout <math>n\in\mathbb N</math>, <math>f(a_n) \leq y \leq f(b_n)</math>, donc par le théorème des gendarmes, on obtient <math>y = f(x)</math>.
 
L'existence est ainsi établie.
}}
 
 
{{Exemple
| contenu =
 
 
Pour montrer qu'une fonction continue s'annule sur <math>I</math>,
 
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