« Intégration de Riemann/Intégrale et primitives » : différence entre les versions

Contenu supprimé Contenu ajouté
m mef+liens
Ligne 10 :
Le calcul de primitive est l'opération inverse du calcul de dérivée.
{{Définition
| titre = Définition : Primitive[[Intégration en mathématiques/Primitives|primitive d'une fonction]]
| contenu =
SoitSoient <math>f</math> uneet fonction<math>F</math> deux fonctions continuedéfinies sur un intervalle <math>I</math> .<br />
 
La fonction <math>F</math> est une '''primitive''' de <math>f</math> sur l'intervalle <math>I</math> , si, et seulement si :<br />
<center>{{Encadre|contenu=<math>\forall x\in I\quad F'(x) = f(x) \,\forall x \in I</math>}}.</center>}}
 
{{Exemple
| contenu =
* La fonction <math>f:x \mapsto x^5-3x^2+7\pi</math> a pour primitive sur <math>\R</math> la fonction <math>F_1 : x \mapsto \frac{x^6}{6}-x^3+7\pi x</math>.
*:Pour trouver ce résultat, on lit le tableau des dérivées "« en sens inverse" » ou on utilise le tableau de primitives ci-dessous.
*:Remarquons que <math>F_2 : x \mapsto \frac{x^6}{6}-x^3+7\pi x + 3</math> est aussi une primitive de <math>f</math>.
*:Il suffit de calculer la dérivée de <math>F_2</math> pour s'en convaincre.
 
* Montrons que la fonction <math>F : x \mapsto x\ln x - x</math> est une primitive de <math>f : x \mapsto \ln x</math> .
*:On calcule pour cela <math>F'</math> :
*:<math>\forall x \in \R^*_+\quad F'(x) = 1\ln x + x\frac{1}{x} frac1x- 1 = \ln x + 1 - 1 = \ln x = f(x)</math>, donc <math>F</math> est une primitive de <math>f</math>.
}}
 
On a les propriétés suivantes en utilisant [[Fonctions d'une variable réelle/Dérivabilité|les propriétés de la dérivation]] :
{{Propriété|titre= Propriétés|contenu =
Soient <math>f</math> et <math>g</math> deux fonctions continuesadmettant, sur un intervalle <math>I</math>, etdes primitives, respectivement <math>F</math> et <math>G</math> leurs primitives respectives sur <math>I</math> .Soit encore <math>\lambda \in \R</math>. <br />
 
* <math>F+G</math> est une primitive de <math>f+g</math> .
* <math>\lambda F+G</math> est une primitive de <math>\lambda f+g</math> .}}
*Pour tout réel <math>\lambda</math>, la fonction <math>\lambda F</math> est une primitive de <math>\lambda f</math>.}}
 
{{Démonstration déroulante|contenu =
On a tout simplement d’aprèsD’après les propriétés de la dérivation :<br />,
<math>(F+G)' = F'+G' = f+g \mathrm{\;et\;} (\lambda F)' = \lambda F' = \lambda f</math> <br />.}}
d'où le résultat par définition de la notion de primitive.}}
 
{{Attention|Avec_fond=oui|'''Attention !'''<math>FG</math> '''n'est pas''' une primitive de <math>fg</math> .<br />}}
'''Contre-exemple :''' Soient les fonctions <math>f : x \mapsto x+1</math> et <math>g : x \mapsto e^x</math> .
On montre facilement que <math>F:x\mapsto \frac{x^2}{2}+x</math> et <math>G:x\mapsto e^x</math> sont des primitives respectivement de <math>f</math> et <math>g</math> , mais pourtant :<br />
1/ <math>FG : x \mapsto (\frac{x^2}{2}+x)e^x</math> n’est pas une primitive de <math>fg</math> puisque <br /><math>(FG)'(x) = (F'G+FG')(x) = (x+1)e^x+\left(\frac{x^2}{2}+x\right)e^x \ne fg(x) \,\forall x \in \R</math> ;<br />
2/ <math>\varphi :x \mapsto xe^x</math> est une primitive de <math>fg</math> car :<br />
<math>\varphi'(x) = xe^x+1\times e^x = (x+1)e^x = fg(x) \,\forall x\in \R</math> .
<br />
En fait, tout cela vient de la formule de dérivation d'un produit : <math>(fg)' = f'g+fg' \ne f'g'</math> .
 
21/ <math>\varphiFG : x \mapsto xe(\frac{x^2}2+x)e^x</math> estn’est pas une primitive de <math>fg</math> car :<br />puisque
{{Propriété|contenu = Soit <math>f</math> une fonction continue.
 
* Deux primitives d'une même fonction diffèrent d'une constante : si <math>F</math> est une primitive de <math>f</math> , alors <math>\forall k \in \R , G : x \mapsto F(x)+k</math> est aussi une primitive de <math>f</math> .
1/ <math>FG : x \mapsto (\frac{x^2}{2}+x)e^x</math> n’est pas une primitive de <math>fg</math> puisque <br /><math>(FG)'(x) = (F'G+FG')(x) = (x+1)e^x+\left(\frac{x^2}{2}+x\right)e^x \ne fg(x) \,\forall x \in \R</math> ;<br />
* Soient <math> x_0,y_0 \in \R</math> fixés.
 
Il existe une '''unique''' primitive de <math>f</math> telle que <math>F(x_0) = y_0</math> .}}
*2/ <math>F+G\varphi :x \mapsto xe^x</math> est une primitive de <math>f+gfg</math> .car :
 
<math>\varphi'(x) = xe^x+1\times e^x = (x+1)e^x = fg(x) \,\forall x\in \R</math> .
 
{{Propriété|contenu =
* Deux primitives d'une même fonction diffèrent d'une constante : si <math>F</math> est une primitive de <math>f</math> , alors <math>\forall k \in \R , G : x \mapsto F(x)+k</math> est aussi une primitive de <math>f</math> .
* Soient <math> x_0\in I,y_0 \in \R</math> fixés. Si <math>f</math> est continue sur l'intervalle <math>I</math>, il existe une '''unique''' primitive de <math>f</math> sur <math>I</math> telle que <math>F(x_0) = y_0</math>.}}
 
{{Démonstration déroulante|contenu =
* Il est clair que si <math>F'=f</math> , alors <math>G' = F' = f</math> (la dérivée d'une fonction constante est nulle) donc que <math>G</math> est une autre primitive de <math>f</math> .
* '''Existence :'''
Soit <math>G</math> une primitive quelconque de <math>f</math> . (On montrera plus loin que toute fonction continue admet au moins une primitive).<br />
 
Alors en posant <math>F : x\mapsto G(x)-G(x_0)+y_0</math> , on peut vérifier facilement qu'on obtient une primitive de <math>f</math> telle que <math>F(x_0) = y_0</math>.<br />
<math>\;</math>'''Unicité :'''<br />
 
Supposons que <math>F_1</math> est une autre primitive de <math>f</math> telle que <math>F_1(x_0) = y_0</math> .<br />
<math>\;</math>*'''Unicité :'''<br />
D'après le premier point, il existe une constante <math>k\in \R</math> telle que <math>F_1(x) = F(x) + k \forall x \in \R</math> .<br />
IlSupposons existeque <math>F_1</math> est une '''unique'''autre primitive de <math>f</math> telle que <math>FF_1(x_0) = y_0</math> .}}
 
D'après le premier point, il existe une constante <math>k\in \R</math> telle que <math>F_1(x) = F(x) + k \forall x \in \R</math> .<br />
 
Comme <math>F_1(x_0) = F(x_0)</math> , on en déduit que <math>k = 0</math> et que <math>F_1 = F</math> , ce qui montre l'unicité.}}
 
Ligne 72 ⟶ 78 :
! <math>F(x)</math>
|-----
| <math>{0}</math>
| <math>\R</math>
| <math>{C}</math>
|-----
| <math>{ax+b}</math>
| <math>\R</math>
| <math>\frac{ax^2}{2}+bx+C</math>
|-----
| <math>x^n</math> (<math>\forall {n}\in \R-\{-1\}</math>)
Ligne 84 ⟶ 90 :
| <math>\frac {x^{n+1}}{n+1}+C</math>
|-----
| <math>\sqrt{ x}</math>
| <math>\R^*_+</math>
| <math>\frac 2 3 xfrac23x\sqrt{ x} +C</math>
|-----
| <math>\frac {1}{x}frac1x</math>
| <math>\R^*_+</math>
| <math>\ln {x}+C</math>
|-----
| <math>\frac {1}frac1{2\sqrt{x}}</math>
| <math>\R^*_+</math>
| <math>\sqrt{ x}+C</math>
|-----
| <math>- \frac {1}frac1{x^2}</math>
| <math>\R^*</math>
| <math> \frac {1}{x}frac1x+C</math>
|-----
| <math>\sin {x}</math>
| <math>\R</math>
| <math>-\cos {x}+C</math>
|-----
| <math>\cos {x}</math>
| <math>\R</math>
| <math>\sin {x}+C</math>
|-----
| <math>\frac {1}frac1{\cos^2{x}}</math>
| <math>\R- \setminus\left\{\frac{\pi}{2}+k\pi\right\}</math>
| <math>\tan {x}+C</math>
|-----
| <math>-\frac {1}frac1{\sin^2{x}} </math>
| <math>\R- \setminus\left\{k\pi\right\}</math>
| <math>\operatorname{cotan} {x}+C</math>
|-----
| <math>e^x</math>
Ligne 120 ⟶ 126 :
| <math>e^x+C</math>
|-----
| <math>\ln {x}</math>
| <math>\R^*_+</math>
| <math>x\ln {x} - x + C</math>
|}
 
Ligne 129 ⟶ 135 :
 
{{Théorème
| titre = [[w:Théorème fondamental de l'analyse|Théorème fondamental de l'analyse]] ([[w:Gottfried Wilhelm Leibniz|Leibniz]]-[[w:Isaac Newton|Newton]])|contenu ={{Wikipédia|Théorème fondamental de l'analyse}}
Soit <math>f</math> une fonction continue sur un intervalle <math>[a,b]</math> <math>(a,b\in\R)</math>.
* La fonction <math>F:x\mapsto\int_a^xf(t)\,\mathrm dt</math> est '''l'unique primitive de <math>f</math> qui s'annule en <math>a</math>.'''
Ligne 158 ⟶ 164 :
 
== Méthodes de calcul intégral ==
La principale méthode utilisée pour calculer des intégrales est d’abord l'usage du Théorèmethéorème Fondamentalfondamental de l'Analyseanalyse.<br />
 
Notez '''qu'on n'utilise''' (presque) '''jamais la définition théorique de l'intégrale''' pour calculer une intégrale.
 
=== Intégration par parties ===
{{Théorème
| titre = Formule : Intégrationintégration par parties|contenu ={{Wikipédia|Intégration par parties}}
Soient <math>u</math> et <math>v</math> deux fonctions de classe <math>\mathcal C^1</math> sur <math>[a;,b]</math>.
 
On a alors :
<center>{{Encadre|contenu=<math>\int_a^b u'(x)v(x)\,\mathrm{d}x dx= \left[u(x)v(x)\right]_a^b - \int_a^b u(x)v'(x)\,\mathrm{d}x dx.</math>}}</center>}}
 
{{Démonstration déroulante|contenu =
Il suffit d’utiliser la formule de dérivation d'un produit :
 
<math>(uv)'=u'v+uv' \Rightarrow u'v = (uv)'-uv' \Rightarrow \int u'(x)v(x)\,\mathrm{d}x dx = \left[u(x)v(x)\right] - \int u(x)v'(x)\,\mathrm{d}x dx</math> , d'où le résultat.}}
 
'''Exemples :'''
 
1/ Calculer <math>\int xe^x \,\mathrm{d}x dx</math>.
 
On intègre par parties en posant :
Ligne 185 ⟶ 192 :
 
On a donc :
<center>{{Encadre|contenu=<math>\int xe^x \,\mathrm{d}x dx = xe^x -\int e^x\,\mathrm{d}x dx = (x-1)e^x + C \;(C\in \R).</math>}}</center>
 
2/ <u>'''Une double intégration par parties :'''</u>
 
Calculer <math>\int e^x \sin x \,\mathrm{d}x dx</math>.
 
On intègre par parties en posant :
Ligne 199 ⟶ 206 :
On a donc :
 
<math>\int e^x \sin x \,\mathrm{d}x dx = -e^x \cos x +\int e^x \cos x\,\mathrm{d}x dx.</math>
 
Pour calculer la dernière intégrale, on intègre (encore) par parties en posant :
Ligne 209 ⟶ 216 :
On a donc :
 
<math>\int e^x \cos x \,\mathrm{d}x dx = e^x \sin x -\int e^x \sin x\,\mathrm{d}x dx </math>. On est revenu à l'intégrale qu'on voulait calculer : le serpent se mord la queue ! Est-on réellement bloqué pour autant ?
 
{{boîte déroulante|titre = Solution : on retombe sur ses pieds et le serpent garde sa queue !|contenu =
En fait, il suffit "d'« injecter" » le résultat obtenu pour <math>\int e^x \cos x \,\mathrm{d}x dx</math> dans le résultat obtenu dans la première intégration par parties ; on obtient :
 
<math>\int e^x \sin x \,\mathrm{d}x dx = -e^x \cos x +{\color{Blue}\int e^x \cos x\,\mathrm{d}x dx} = -e^x\cos x + {\color{Blue}e^x \sin x - \int e^x \sin x\,\mathrm{d}x dx}.</math>
 
Il suffit alors d'ajouter de chaque côté <math>\int e^x \sin x \,\mathrm{d}x dx</math> et l’on a :
 
<math>2\int e^x \sin x \,\mathrm{d}x dx = -e^x\cos x + e^x \sin x + C ^;(C\in \R)</math>, d'où l’on tire :
<center>{{Encadre|contenu=<math>\int e^x \sin x \,\mathrm{d}x dx = \frac{e^x(\sin x-\cos x)}{2} + C \;(C\in \R)</math>}}</center>}}
 
3/ Calculer <math>\int \ln x \,\mathrm{d}x dx.</math>
 
On ne connaît pas ''a priori'' de primitive de <math>x \mapsto \ln x</math> (et c’est bien ce qu'on cherche).
Ligne 231 ⟶ 238 :
<math>v'(x) = 1\Leftarrow v(x) = x.</math>
 
(On a remarqué que <math>\ln x = 1\times \ln x</math> , tout simplement !)
 
On a donc :
 
<math>\int \ln x \,\mathrm{d}x dx = x\ln x -\int x\frac{1}{x}frac1x\,\mathrm{d}x dx= x\ln x - x + C \;(C\in \R).</math>
Donc (c'est un résultat à retenir) :
<center>{{Encadre|contenu=<math>\int \ln x \,\mathrm{d}x dx = x\ln x - x + C \;(C\in \R)</math>}}</center>
 
=== Changement de variables ===
{{Théorème
| titre = Formule de [[Changement de variable en calcul intégral|changement de variables]]|contenu =
Soit <math>f</math> une fonction de classe <math>\mathcal C^1</math> sur <math>[a;,b]</math> et <math>\varphi</math> une '''bijection de classe <math>\mathcal C^1</math> ''' telle que <math>\varphi(a) = \alpha</math> et <math>\varphi(b)=\beta</math>.<br />
 
Alors :
<center>{{Encadre|contenu=<math>\int_{\alpha}^{\beta} f(x)\,\mathrm{d}x dx = \int_a^b f(\varphi(t))\varphi'(t)\,\mathrm{d}t dt</math>.}}</center>}}
 
{{Démonstration déroulante|contenu =
Il suffit d’utiliser la formule de dérivation d'une composée :<br />
 
<math>f'(x)=(f(\varphi(t))'=f'(\varphi(t))\varphi'(t)</math> , d'où le résultat par intégration.}}
<u>Remarque :</u> Une fonction <math>\varphi</math> bijective de classe <math>\mathcal C^1</math> dont la réciproque est alors de classe <math>\mathcal C^1</math> est appelée un '''<math>\mathcal C^1</math>-difféomorphisme.'''<br />
 
Pour utiliser cette formule en pratique :<br />
 
* poser <math>x = \varphi(t)</math> et donc <math>\mathrm{d}x = \varphi'(t)\mathrm{d}t</math> ;
* poser <math>x = \varphi(t)</math> et donc <math>\mathrm dx = \varphi'(t)\,\mathrm dt</math> ;
* '''changer les bornes d'intégration''' : si <math>x=\alpha=\varphi(t)</math> , alors <math>t = a</math> et si <math>x=\beta=\varphi(t)</math> , alors <math>t=b</math> .
Remarquez que cette formule s'utilise dans les deux sens, comme le montrent les exemples.<br />
 
'''Exemples :'''<br />
'''1/''' <math>\int_1^2 \frac{x+2}{x^2+4x-1} = \int_4^{11} \frac{\mathrm{d}t}{2t} = \left[\frac{1}{2}\ln t\right]_4^{11} = \frac{\ln 11 - \ln 4}{2}</math> .<br />
 
On a fait le changement de variables <math>t = x^2+4x-1 = \varphi^{-1}(x)</math> et <math>\mathrm{d}t = 2x+4\,\mathrm{d}x = 2(x+2)\,\mathrm{d}x</math>.<br />
'''1/''' <math>\int_1^2 \frac{x+2}{x^2+4x-1} = \int_4^{11} \,\frac{\mathrm{d}t dt}{2t} = \left[\frac{1}{2}frac12\ln t\right]_4^{11} = \frac{\ln 11 - \ln 4}{2}</math> .<br />
Pour les bornes :si <math>x = 1</math> , alors <math>t = 1^2+4\times 1 -1 =4</math> et si <math>x=2</math> , alors <math>t = 2^2+4\times 2-1 = 11</math>.<br />
 
'''2/''' <math>I=\int \frac{\mathrm{d}x}{1+\cos^2 x} = \int \frac{\mathrm{d}x}{2\cos^2 x+\sin^2 x} = \int\frac{\mathrm{d}x}{\cos^2 x(2+\tan^2 x)}</math> puisque <math>\cos^2 x + \sin^2 x = 1 \,\forall x \in \R</math>.<br />
On posea fait le changement de variables <math>t = \tanx^2+4x-1 = \varphi^{-1}(x)</math> doncet <math>\mathrm{d}t dt = 2x+4\frac{,\mathrm{d} dx= 2(x}{+2)\cos^2,\mathrm x}dx</math> .
 
Pour les bornes : si <math>x = 1</math> , alors <math>t = 1^2+4\times 1 -1 =4</math> et si <math>x=2</math> , alors <math>t = 2^2+4\times 2-1 = 11</math>.<br />
 
'''2/''' <math>I=\int \frac{\mathrm{d}x dx}{1+\cos^2 x} = \int \frac{\mathrm{d}x dx}{2\cos^2 x+\sin^2 x} = \int\frac{\mathrm{d}x dx}{\cos^2 x(2+\tan^2 x)}</math> puisque <math>\cos^2 x + \sin^2 x = 1 \,\forall x \in \R</math>.<br />
 
On pose <math>t = \tan x</math> donc <math>\mathrm dt= \frac{\mathrm dx}{\cos^2 x}</math>.
<br />
Alors <math>I = \int \frac{\mathrm{d}t dt}{2+t^2} = \int \frac{\mathrm{d}t dt}{2(1+(\frac{t}{\sqrt 2})^2)} = \frac{\sqrt 2}{2}\int \frac{\mathrm{d}u du}{1+u^2} = \frac{\sqrt 2}{2}\arctan u = \frac{\sqrt 2}{2}\arctan (\frac{\sqrt 2}{2}t2t) = \frac{\sqrt 2}{2}\arctan(\frac{\sqrt 2}{2}\tan x)</math> à une constante près.<br />
 
On a posé <math>u = \frac{t}{\sqrt 2}</math> et donc <math>\mathrm{d}t = \sqrt 2 \,\mathrm{d}u</math>.
*On posera posé <math>xu = \varphi(frac t){\sqrt 2}</math> et donc <math>\mathrm{d}x dt = \varphi'(t)sqrt 2 \,\mathrm{d}t du</math> ;.
 
=== Intégration des fractions rationnelles ===
Pour intégrer une fraction rationnelle (si la solution ne peut être trouvée directement avec les méthodes ci-dessus), il faut la [[Fractions rationnelles|décomposer en éléments simples]] . L'intégration devient ensuite relativement aisée sauf lorsqu'on rencontre des éléments simples de deuxième espèce de la forme :<br />
 
<math>A(x) = \int \frac{ax+b}{(x^2+cx+d)^n}\,\mathrm{d}x dx</math> où <math> a,b,c,d\in\R | \delta = c^2-4d <0</math> et <math>n\in \mathbb N</math> .
<br />Pour calculer <math>A(x)</math> , il faut :<br />
 
'''1/ Faire apparaître la dérivée du dénominateur au numérateur''' :<br />
<br />Pour calculer <math>A(x)</math> , il faut :<br />
<math>ax+b = \frac{a}{2}(2x+c)+b-\frac{ac}{2}\Rightarrow A(x) = \int \frac{ax+b}{(x^2+cx+d)^n}\mathrm{d}x = \int \frac{\frac{a}{2}(2x+c)+b-\frac{ac}{2}}{(x^2+cx+d)^n}\mathrm{d}x = \frac{a}{2}\int \frac{\mathrm{d}(x^2+cx+d)}{(x^2+cx+d)^n} + \left(b-\frac{ac}{2}\right)\int \frac{\mathrm{d}x}{(x^2+cx+d)^n}</math>
 
La seule réelle difficulté qui est apparue est le calcul de <math>\int \frac{\mathrm{d}x}{(x^2+cx+d)^n}</math>.C'est ce calcul que l’on va chercher maintenant à effectuer.<br />
'''1/ Faire apparaître la dérivée du dénominateur au numérateur''' :<br />
'''2/ Remplacer <math>x^2+cx+d</math> par sa forme canonique :''' <br />
 
On obtient <math>x^2+cx+d = \left(x+\frac{c}{2}\right)^2 + d - \frac{c^2}{4} = t^2 + k^2 \mathrm{\;o\grave u\;} t = x+\frac{c}{2} \mathrm{\;et\;} k = \sqrt{d - \frac{c^2}{4}}</math>.<br />
On<math>ax+b cherche= à\frac calculera2(2x+c)+b-\frac{ac}2\Rightarrow A(x) = <math>\int \frac{ax+b}{(x^2+cx+d)^n}\,\mathrm dx = \int \frac{d\frac a2(2x+c)+b-\frac{ac}x2}{(x^2+cx+d)^n}\,\mathrm dx = \frac a2\int \frac{\mathrm{ d}t(x^2+cx+d)}{(tx^2+kcx+d)^n} + \left(b-\frac{ac}2\right)\int \frac{\mathrm dx}{(x^2+cx+d)^n}</math><br />.
'''3/La Calculerseule réelle difficulté qui est apparue est le calcul de <math>\int \frac{\mathrm{d}t dx}{(tx^2+k^2cx+d)^n}</math>. :C'''<brest />ce calcul que l’on va chercher maintenant à effectuer.
 
* Si <math>n = 1</math> , alors on obtient <math>\int \frac{\mathrm{d}t}{(t^2+k^2)} = \frac{1}{k}\operatorname{arctan}\left(\frac{t}{k}\right)</math>.
'''2/ Remplacer <math>x^2+cx+d</math> par sa forme canonique :''' <br />
* Si <math>n\ne 1</math>, alors on pose <math>u =\operatorname{arctan}(\frac{t}{k})</math> et on a (tous calculs faits...) :
 
<math>\int \frac{\mathrm{d}t}{(t^2+k^2)^n} = k^{1-2n}\int \cos ^{2n-2}u \;\mathrm{d}u</math> qu'on calcule par linéarisation avec les formules d'Euler.
On obtient <math>x^2+cx+d = \left(x+\frac{c}{2} c2\right)^2 + d - \frac{c^2}{4} = t^2 + k^2 \mathrm{\;o\grave u\;} t = x+\frac{c}{2} c2\mathrm{\;et\;} k = \sqrt{d - \frac{c^2}{4}}</math>.<br />
(exemples à faire)
 
On cherche à calculer <math>\int \frac{\mathrm dx}{(x^2+cx+d)^n} = \int \frac{\mathrm dt}{(t^2+k^2)^n}</math>.
 
'''3/ Calculer <math>\int \frac{\mathrm dt}{(t^2+k^2)^n}</math> :'''
 
* Si <math>n = 1</math> , alors on obtient <math>\int \frac{\mathrm{d}t dt}{(t^2+k^2)} = \frac{1}{k}frac1k\operatorname{arctan}\left(\frac{t}{k} tk\right)</math>.
* Si <math>n\ne 1</math>, alors on pose <math>u =\operatorname{arctan}(\frac{t}{k} tk)</math> et l'on a (tous calculs faits...faits…) :
<math>\int \frac{\mathrm{d}t dt}{(t^2+k^2)^n} = k^{1-2n}\int \cos ^{2n-2}u \;\mathrm{d}u du</math>, qu'on calcule [[Calcul avec les nombres complexes/Factorisation et linéarisation|par linéarisation avec les formules d'Euler]].
 
=== Règles de Bioche : intégration des fractions rationnelles en cos x et sin x ===
{{Propriété|titre = Règles de Bioche|contenu =
Si l'élément différentiel <math>f(x)\,\mathrm{d}x dx</math> est inchangé lors de la transformation :<br />
* de <math>x</math> en <math>-x</math> , alors il faut effectuer le changement de variables <math>t = \cos x</math> ;
* de <math>x</math> en <math>\pi -x</math> , alors il faut effectuer le changement de variables <math>t = \sin x</math> ;
* de <math>x</math> en <math>\pi +x</math> , alors il faut effectuer le changement de variables <math>t = \tan x</math> .
Sinon, il faut effectuer le changement de variables <math>t = \tan (\frac{x}{2} x2)</math> .}}
(exemples à faire)
 
Voir [[Changement de variable en calcul intégral/Intégrales contenant des fonctions trigonométriques]].
 
{{Bas de page