« Intégration de Riemann/Intégrale et primitives » : différence entre les versions
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Le calcul de primitive est l'opération inverse du calcul de dérivée.
{{Définition
| titre = Définition :
| contenu =
La fonction <math>F</math> est une '''primitive''' de <math>f</math> sur
<center>
{{Exemple
| contenu =
* La fonction <math>f:x \mapsto x^5-3x^2+7\pi</math> a pour primitive sur <math>\R</math> la fonction <math>F_1 : x \mapsto \frac{x^6}{6}-x^3+7\pi x</math>.
*:Pour trouver ce résultat, on lit le tableau des dérivées
*:Remarquons que <math>F_2 : x \mapsto \frac{x^6}{6}-x^3+7\pi x + 3</math> est aussi une primitive de <math>f</math>.
*:Il suffit de calculer la dérivée de <math>F_2</math> pour s'en convaincre.
* Montrons que la fonction <math>F : x \mapsto x\ln x - x</math> est une primitive de <math>f : x \mapsto \ln x</math> .
*:On calcule pour cela <math>F'</math> :
*:<math>\forall x \in \R^*_+\quad F'(x) = 1\ln x + x\
}}
On a les propriétés suivantes en utilisant [[Fonctions d'une variable réelle/Dérivabilité|les propriétés de la dérivation]] :
{{Propriété|titre= Propriétés|contenu =
Soient <math>f</math> et <math>g</math> deux fonctions
* <math>F+G</math> est une primitive de <math>f+g</math> .▼
* <math>
*Pour tout réel <math>\lambda</math>, la fonction <math>\lambda F</math> est une primitive de <math>\lambda f</math>.}}
{{Démonstration déroulante|contenu =
<math>(F+G)' = F'+G' = f+g \mathrm{\;et\;} (\lambda F)' = \lambda F' = \lambda f</math>
{{Attention|Avec_fond=oui|'''Attention !'''<math>FG</math> '''n'est pas''' une primitive de <math>fg</math> .<br />}}
'''Contre-exemple :''' Soient les fonctions <math>f : x \mapsto x+1</math> et <math>g : x \mapsto e^x</math> .
On montre facilement que <math>F:x\mapsto \frac{x^2}{2}+x</math> et <math>G:x\mapsto e^x</math> sont des primitives respectivement de <math>f</math> et <math>g</math>
1/ <math>FG : x \mapsto (\frac{x^2}{2}+x)e^x</math> n’est pas une primitive de <math>fg</math> puisque <br /><math>(FG)'(x) = (F'G+FG')(x) = (x+1)e^x+\left(\frac{x^2}{2}+x\right)e^x \ne fg(x) \,\forall x \in \R</math> ;<br />▼
2/ <math>\varphi :x \mapsto xe^x</math> est une primitive de <math>fg</math> car :<br />▼
<math>\varphi'(x) = xe^x+1\times e^x = (x+1)e^x = fg(x) \,\forall x\in \R</math> .▼
▲
* Deux primitives d'une même fonction diffèrent d'une constante : si <math>F</math> est une primitive de <math>f</math> , alors <math>\forall k \in \R , G : x \mapsto F(x)+k</math> est aussi une primitive de <math>f</math> .▼
▲
Il existe une '''unique''' primitive de <math>f</math> telle que <math>F(x_0) = y_0</math> .}}▼
{{Propriété|contenu =
▲* Deux primitives d'une même fonction diffèrent d'une constante : si <math>F</math> est une primitive de <math>f</math>
* Soient <math> x_0\in I,y_0 \in \R</math> fixés. Si <math>f</math> est continue sur l'intervalle <math>I</math>, il existe une '''unique''' primitive de <math>f</math> sur <math>I</math> telle que <math>F(x_0) = y_0</math>.}}
{{Démonstration déroulante|contenu =
* Il est clair que si <math>F'=f</math>
* '''Existence :'''
Soit <math>G</math> une primitive quelconque de <math>f</math>
Alors en posant <math>F : x\mapsto G(x)-G(x_0)+y_0</math>
<math>\;</math>'''Unicité :'''<br />▼
D'après le premier point, il existe une constante <math>k\in \R</math> telle que <math>F_1(x) = F(x) + k \forall x \in \R</math> .<br />▼
▲
▲D'après le premier point, il existe une constante <math>k\in \R</math> telle que <math>F_1(x) = F(x) + k \forall x \in \R</math>
Comme <math>F_1(x_0) = F(x_0)</math> , on en déduit que <math>k = 0</math> et que <math>F_1 = F</math> , ce qui montre l'unicité.}}
Ligne 72 ⟶ 78 :
! <math>F(x)</math>
|-----
| <math>
| <math>\R</math>
| <math>
|-----
| <math>
| <math>\R</math>
| <math>\frac{ax^2}
|-----
| <math>x^n</math> (<math>\forall {n}\in \R-\{-1\}</math>)
Ligne 84 ⟶ 90 :
| <math>\frac {x^{n+1}}{n+1}+C</math>
|-----
| <math>\sqrt
| <math>\R^*_+</math>
| <math>\
|-----
| <math>\
| <math>\R^*_+</math>
| <math>\ln
|-----
| <math>\
| <math>\R^*_+</math>
| <math>\sqrt
|-----
| <math>- \
| <math>\R^*</math>
| <math> \
|-----
| <math>\sin
| <math>\R</math>
| <math>-\cos
|-----
| <math>\cos
| <math>\R</math>
| <math>\sin
|-----
| <math>\
| <math>\R
| <math>\tan
|-----
| <math>-\
| <math>\R
| <math>\operatorname{cotan}
|-----
| <math>e^x</math>
Ligne 120 ⟶ 126 :
| <math>e^x+C</math>
|-----
| <math>\ln
| <math>\R^*_+</math>
| <math>x\ln
|}
Ligne 129 ⟶ 135 :
{{Théorème
| titre =
Soit <math>f</math> une fonction continue sur un intervalle <math>[a,b]</math> <math>(a,b\in\R)</math>.
* La fonction <math>F:x\mapsto\int_a^xf(t)\,\mathrm dt</math> est '''l'unique primitive de <math>f</math> qui s'annule en <math>a</math>.'''
Ligne 158 ⟶ 164 :
== Méthodes de calcul intégral ==
La principale méthode utilisée pour calculer des intégrales est d’abord l'usage du
Notez '''qu'on n'utilise''' (presque) '''jamais la définition théorique de l'intégrale''' pour calculer une intégrale.
=== Intégration par parties ===
{{Théorème
| titre = Formule :
Soient <math>u</math> et <math>v</math> deux fonctions de classe <math>\mathcal C^1</math> sur <math>[a
On a alors :
<center>{{Encadre|contenu=<math>\int_a^b u'(x)v(x)\,\mathrm
{{Démonstration déroulante|contenu =
Il suffit d’utiliser la formule de dérivation d'un produit :
<math>(uv)'=u'v+uv' \Rightarrow u'v = (uv)'-uv' \Rightarrow \int u'(x)v(x)\,\mathrm
'''Exemples :'''
1/ Calculer <math>\int xe^x
On intègre par parties en posant :
Ligne 185 ⟶ 192 :
On a donc :
<center>{{Encadre|contenu=<math>\int xe^x
2/ <u>'''Une double intégration par parties :'''</u>
Calculer <math>\int e^x \sin x
On intègre par parties en posant :
Ligne 199 ⟶ 206 :
On a donc :
<math>\int e^x \sin x
Pour calculer la dernière intégrale, on intègre (encore) par parties en posant :
Ligne 209 ⟶ 216 :
On a donc :
<math>\int e^x \cos x
{{boîte déroulante|titre = Solution : on retombe sur ses pieds et le serpent garde sa queue !|contenu =
En fait, il suffit
<math>\int e^x \sin x
Il suffit alors d'ajouter de chaque côté <math>\int e^x \sin x
<math>2\int e^x \sin x
<center>{{Encadre|contenu=<math>\int e^x \sin x
3/ Calculer <math>\int \ln x
On ne connaît pas ''a priori'' de primitive de <math>x \mapsto \ln x</math> (et c’est bien ce qu'on cherche).
Ligne 231 ⟶ 238 :
<math>v'(x) = 1\Leftarrow v(x) = x.</math>
(On a remarqué que <math>\ln x = 1\times \ln x</math>
On a donc :
<math>\int \ln x
Donc (c'est un résultat à retenir) :
<center>{{Encadre|contenu=<math>\int \ln x
=== Changement de variables ===
{{Théorème
| titre = Formule de [[Changement de variable en calcul intégral|changement de variables]]|contenu =
Soit <math>f</math> une fonction de classe <math>\mathcal C^1</math> sur <math>[a
Alors :
<center>{{Encadre|contenu=<math>\int_{\alpha}^{\beta} f(x)\,\mathrm
{{Démonstration déroulante|contenu =
Il suffit d’utiliser la formule de dérivation d'une composée :
<math>f'(x)=(f(\varphi(t))'=f'(\varphi(t))\varphi'(t)</math> , d'où le résultat par intégration.}}
<u>Remarque :</u> Une fonction <math>\varphi</math> bijective de classe <math>\mathcal C^1</math> dont la réciproque est alors de classe <math>\mathcal C^1</math> est appelée un '''<math>\mathcal C^1</math>-difféomorphisme.'''
Pour utiliser cette formule en pratique :
* poser <math>x = \varphi(t)</math> et donc <math>\mathrm{d}x = \varphi'(t)\mathrm{d}t</math> ;▼
* poser <math>x = \varphi(t)</math> et donc <math>\mathrm dx = \varphi'(t)\,\mathrm dt</math> ;
* '''changer les bornes d'intégration''' : si <math>x=\alpha=\varphi(t)</math> Remarquez que cette formule s'utilise dans les deux sens, comme le montrent les exemples.
'''Exemples :'''
'''1/''' <math>\int_1^2 \frac{x+2}{x^2+4x-1} = \int_4^{11} \frac{\mathrm{d}t}{2t} = \left[\frac{1}{2}\ln t\right]_4^{11} = \frac{\ln 11 - \ln 4}{2}</math> .<br />▼
▲'''1/''' <math>\int_1^2 \frac{x+2}{x^2+4x-1} = \int_4^{11}
Pour les bornes :si <math>x = 1</math> , alors <math>t = 1^2+4\times 1 -1 =4</math> et si <math>x=2</math> , alors <math>t = 2^2+4\times 2-1 = 11</math>.<br />▼
'''2/''' <math>I=\int \frac{\mathrm{d}x}{1+\cos^2 x} = \int \frac{\mathrm{d}x}{2\cos^2 x+\sin^2 x} = \int\frac{\mathrm{d}x}{\cos^2 x(2+\tan^2 x)}</math> puisque <math>\cos^2 x + \sin^2 x = 1 \,\forall x \in \R</math>.<br />▼
On
▲Pour les bornes : si <math>x = 1</math>
▲'''2/''' <math>I=\int \frac{\mathrm
On pose <math>t = \tan x</math> donc <math>\mathrm dt= \frac{\mathrm dx}{\cos^2 x}</math>.
<br />
Alors <math>I = \int \frac{\mathrm
▲On a posé <math>u = \frac{t}{\sqrt 2}</math> et donc <math>\mathrm{d}t = \sqrt 2 \,\mathrm{d}u</math>.
▲
=== Intégration des fractions rationnelles ===
Pour intégrer une fraction rationnelle (si la solution ne peut être trouvée directement avec les méthodes ci-dessus), il faut la [[Fractions rationnelles|décomposer en éléments simples]] . L'intégration devient ensuite relativement aisée sauf lorsqu'on rencontre des éléments simples de deuxième espèce de la forme :
<math>A(x) = \int \frac{ax+b}{(x^2+cx+d)^n}\,\mathrm
<br />Pour calculer <math>A(x)</math> , il faut :<br />▼
'''1/ Faire apparaître la dérivée du dénominateur au numérateur''' :<br />▼
'''2/ Remplacer <math>x^2+cx+d</math> par sa forme canonique :''' <br />▼
On obtient <math>x^2+cx+d = \left(x+\frac{c}{2}\right)^2 + d - \frac{c^2}{4} = t^2 + k^2 \mathrm{\;o\grave u\;} t = x+\frac{c}{2} \mathrm{\;et\;} k = \sqrt{d - \frac{c^2}{4}}</math>.<br />▼
* Si <math>n = 1</math> , alors on obtient <math>\int \frac{\mathrm{d}t}{(t^2+k^2)} = \frac{1}{k}\operatorname{arctan}\left(\frac{t}{k}\right)</math>.▼
* Si <math>n\ne 1</math>, alors on pose <math>u =\operatorname{arctan}(\frac{t}{k})</math> et on a (tous calculs faits...) :▼
<math>\int \frac{\mathrm{d}t}{(t^2+k^2)^n} = k^{1-2n}\int \cos ^{2n-2}u \;\mathrm{d}u</math> qu'on calcule par linéarisation avec les formules d'Euler.▼
▲On obtient <math>x^2+cx+d = \left(x+\frac
On cherche à calculer <math>\int \frac{\mathrm dx}{(x^2+cx+d)^n} = \int \frac{\mathrm dt}{(t^2+k^2)^n}</math>.
'''3/ Calculer <math>\int \frac{\mathrm dt}{(t^2+k^2)^n}</math> :'''
▲* Si <math>n = 1</math>
▲* Si <math>n\ne 1</math>, alors on pose <math>u =\operatorname{arctan}(\frac
▲<math>\int \frac{\mathrm
=== Règles de Bioche : intégration des fractions rationnelles en cos x et sin x ===
{{Propriété|titre = Règles de Bioche|contenu =
Si l'élément différentiel <math>f(x)\,\mathrm
* de <math>x</math> en <math>-x</math>
* de <math>x</math> en <math>\pi -x</math>
* de <math>x</math> en <math>\pi +x</math>
Sinon, il faut effectuer le changement de variables <math>t = \tan (\frac
Voir [[Changement de variable en calcul intégral/Intégrales contenant des fonctions trigonométriques]].
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