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« Intégration de Riemann/Intégrale et primitives » : différence entre les versions

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{{Exemple
| contenu =
* La fonction <math>f:x \mapsto x^5-3x^2+7\pi</math> a pour primitive sur <math>\R</math> la fonction <math>F_1 : x \mapsto \frac{x^6}{6}-x^3+7\pi x</math>.
 
*:Pour trouver ce résultat, on lit le [[Fonctions d'une variable réelle/Dérivabilité#Dérivée des fonctions usuelles|tableau des dérivées]] « en sens inverse » ou on utilise le tableau de primitives ci-dessous.
*:Remarquons que <math>F_2 : x \mapsto \frac{x^6}{6}-x^3+7\pi x + 3</math> est aussi une primitive de <math>f</math>.
*:Il suffit de calculer la dérivée de <math>F_2</math> pour s'en convaincre.
* Montrons que la fonction <math>F : x \mapsto x\ln x - x</math> est une primitive de <math>f : x \mapsto \ln x</math> .
*:On calcule pour cela <math>F'</math> :
*:<math>\forall x \in \R^*_+\quad F'(x) = 1\ln x + x\frac1x- 1 = \ln x + 1 - 1 = \ln x = f(x)</math>, donc <math>F</math> est une primitive de <math>f</math>.
}}
 
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{{Propriété|titre= Propriétés|contenu =
Soient <math>f</math> et <math>g</math> deux fonctions admettant, sur un intervalle <math>I</math>, des primitives, respectivement <math>F</math> et <math>G</math>.
 
* <math>F+G</math> est une primitive de <math>f+g</math>.
*Pour tout réel <math>\lambda</math>, la fonction <math>\lambda F</math> est une primitive de <math>\lambda f</math>.}}
*Les primitives de <math>f</math> sont exactement toutes les fonctions de la forme <math>x\mapsto F(x)+k</math>, où <math>k</math> est un réel arbitraire.
}}
 
{{Démonstration déroulante|contenu =
*D’après les propriétés de la dérivation, <math>(F+G)' = F'+G' = f+g</math> et <math>(\lambda F)' = \lambda F' = \lambda f</math>.
*Une fonction <math>F_1</math> (définie sur <math>I</math>) est une primitive de <math>f</math> si et seulement si <math>F_1'=f</math>, c'est-à-dire <math>F_1'=F'</math>, ou encore (d'après le point précédent) <math>(F_1-F)'=0</math>. Or ''sur un intervalle'', les fonctions de dérivée nulle sont exactement les fonctions constantes (c'est un corollaire de l'[[inégalité des accroissements finis]]). <math>F_1</math> est donc une primitive de <math>f</math> si et seulement s'il existe une constante <math>k\in\R</math> telle que <math>F_1-F=k</math>, c'est-à-dire : <math>\forall x\in I\quad F_1(x)=F(x)+k</math>.
<math>(F+G)' = F'+G' = f+g \mathrm{\;et\;} (\lambda F)' = \lambda F' = \lambda f</math>.}}
}}
 
{{Attention|Avec_fond=oui|'''Attention !''' <math>FG</math> '''n'est pas''' une primitive de <math>fg</math>, car sa dérivée est .<brmath>F'G+FG'=fG+Fg</math>, qui n'a aucune raison d'être égale à <math>fg=F'G'</math>.}}
'''Contre-exemple :''' Soient les fonctions <math>f : x \mapsto x+1</math> et <math>g : x \mapsto e^x</math> .
On montre facilement que <math>F:x\mapsto \frac{x^2}{2}+x</math> et <math>G:x\mapsto e^x</math> sont des primitives respectivement de <math>f</math> et <math>g</math> mais pourtant :
 
1/ <math>FG : x \mapsto (\frac{x^2}2+x)e^x</math> n’est pas une primitive de <math>fg</math> puisque
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{{Propriété|contenu =
*Soient Deux<math>x_0\in primitivesI</math> d'uneet même<math>y_0\in\R</math>. fonction diffèrent d'une constante : siSi <math>Ff</math> estadmet unedes primitiveprimitives desur <math>fI</math>, alorsil <math>\forallen kexiste \inune \Ret ,une G : x \mapstoseule <math>F(x)+k</math> esttelle aussi une primitive deque <math>fF(x_0) = y_0</math>.}}
* Soient <math> x_0\in I,y_0 \in \R</math> fixés. Si <math>f</math> est continue sur l'intervalle <math>I</math>, il existe une '''unique''' primitive de <math>f</math> sur <math>I</math> telle que <math>F(x_0) = y_0</math>.}}
 
{{Démonstration déroulante|contenu =
*Soit Il<math>F_0</math> estune clairprimitive que side <math>F'=f</math>,. Les autres sont alors les fonctions <math>G' F_k:=F_0+k</math>, F'avec = f<math>k\in\R</math>. (laParmi dérivéeelles, d'une fonctionet constante est nulle)une doncseule queenvoie <math>Gx_0</math> est une autre primitive desur <math>fy_0</math>. :
:<math>F_k(x_0)=y_0\Leftrightarrow F_0(x_0)+k=y_0\Leftrightarrow k=y_0-F_0(x_0)</math>.
* '''Existence :'''
}}
Soit <math>G</math> une primitive quelconque de <math>f</math>. (On montrera plus loin que toute fonction continue admet au moins une primitive).
 
Alors en posant <math>F : x\mapsto G(x)-G(x_0)+y_0</math>, on peut vérifier facilement qu'on obtient une primitive de <math>f</math> telle que <math>F(x_0) = y_0</math>.
 
*'''Unicité :'''
Supposons que <math>F_1</math> est une autre primitive de <math>f</math> telle que <math>F_1(x_0) = y_0</math>.
 
D'après le premier point, il existe une constante <math>k\in \R</math> telle que <math>F_1(x) = F(x) + k \forall x \in \R</math>.
 
Comme <math>F_1(x_0) = F(x_0)</math> , on en déduit que <math>k = 0</math> et que <math>F_1 = F</math> , ce qui montre l'unicité.}}
 
== Primitives usuelles ==
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| titre =Théorème fondamental de l'analyse ([[w:Gottfried Wilhelm Leibniz|Leibniz]]-[[w:Isaac Newton|Newton]])|contenu ={{Wikipédia|Théorème fondamental de l'analyse}}
Soit <math>f</math> une fonction continue sur un intervalle <math>[a,b]</math> <math>(a,b\in\R)</math>.
* La fonction <math>F:x\mapsto\int_a^xf(t)\,\mathrm dt</math> est '''l'unique primitive de <math>f</math> qui s'annule en <math>a</math>.'''
*Pour On en déduit que pour ''toute'' primitive <math>F</math> de <math>f</math> :<center>{{Encadre|contenu=<math>\int_a^bf(x)\,\mathrm dx=[F(x)]_a^b=F(b)-F(a)</math>.}}</center>}}
 
<u>Remarques :</u>
* Dans la première partie du théorème, la variable <math>x</math> est la « borne d’en haut » de l'intégrale : c’est pour cela qu'on parle parfois de « l'intégrale fonction de la borne d’en haut ».
* C'est ceCe théorème qui permet de montrermontre que toute fonction continue admet des primitives.▼
* Dans la deuxième partie du théorème, la primitive <math>F</math> choisie est quelconque et ce n’est pas nécessairement celle donnée dans la première partie.
▲* C'est ce théorème qui permet de montrer que toute fonction continue admet des primitives.
 
{{Démonstration déroulante|contenu =
*Notons Il<math>F_0</math> estla clair quefonction <math>Fx\mapsto\int_a^xf(t)\,\mathrm dt</math> Il est clair qu'elle s'annule en <math>a</math> : <math>FF_0(a)=\int_a^af(t)\,\mathrm dt=0</math>.<br />Il faut montrer maintenant que <math>FF_0</math> est bien une primitive de <math>f</math>, c'est-à-dire que <math>FF_0'=f</math> ou encore (par [[Fonctions d'une variable réelle/Dérivabilité|définition de la dérivée]]) que<br /><math>\forall x_0\in\R\quad\lim_{x\to x_0}\frac{FF_0(x)-FF_0(x_0)}{x-x_0}=f(x_0).</math><br />La relation de Chasles donne :<br /><math>\frac{FF_0(x)-FF_0(x_0)}{x-x_0}= \frac1{x-x_0}\left(\int_a^x f(t)\,\mathrm dt-\int_a^{x_0}f(t)\,\mathrm dt\right)=\frac1{x-x_0}\int_{x_0}^xf(t)\,\mathrm dt</math><br />donc :<br /><math>\frac{FF_0(x)-FF_0(x_0)}{x-x_0}-f(x_0)=\frac1{x-x_0}\left(\int_{x_0}^xf(t)\,\mathrm dt-(x-x_0)f(x_0)\right)=\frac1{x-x_0}\int_{x_0}^x\left(f(t)-f(x_0)\right)\,\mathrm dt.</math><br />Soit <math>\varepsilon>0</math>. Par continuité de <math>f</math> au point <math>x_0</math>, il existe <math>\eta>0</math> tel que<br /><math>\forall t\in[x_0-\eta,x_0+\eta]\quad|f(t)-f(x_0)|\le\varepsilon</math><br />donc tel que<br /><math>\forall x\in[x_0-\eta,x_0+\eta]\quad\left|\frac{FF_0(x)-FF_0(x_0)}{x-x_0}-f(x_0)\right|\le\frac1{x-x_0}\int_{x_0}^x\left|f(t)-f(x_0)\right|\,\mathrm dt\le\varepsilon</math> : c’est précisément ce qu’il fallait démontrer.
* Soit <math>G</math> la primitive qui était désignée par <math>F</math> dans la première partie du théorème.<br />Alors <math>\int_a^bf(x)\,\mathrm dx=G(b)=G(b)-G(a)</math> puisque <math>G(a)=0</math>.<br />Toute autre primitive <math>F</math> de <math>f</math> diffèreest de la forme <math>GF=F_0+k</math> parpour une certaine constante <math>k\in\R</math>, donc <math>\forall x \in [a,b]\quad F(x)=G(x)+k</math> et :<br /><math>F(b)-F(a)=(GF_0(b)+k)-(GF_0(a)+k)=GF_0(b)-GF_0(a)=GF_0(b)-0=\int_a^b f(x)\,\mathrm dx</math>, ce qui est le résultat annoncé.}}
 
'''Exemples :'''
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On ne connaît pas ''a priori'' de primitive de <math>x \mapsto \ln x</math> (et c’est bien ce qu'on cherche).
 
L'astuce dans ces cas-là (une fonction "« seule" » dont on ne connaît que la dérivée mais pas la primitive) consiste à intégrer par parties en posant :
 
<math>u(x) = \ln x \Rightarrow u'(x) =\frac{1}{x}frac1x</math>
 
<math>v'(x) = 1\Leftarrow v(x) = x.</math>.
 
(On a remarqué que <math>\ln x = 1\times \ln x</math>, tout simplement !)
Récupérée de « https://fr.wikiversity.org/wiki/Intégration_de_Riemann/Intégrale_et_primitives »