« Fonction exponentielle/Étude de la fonction exponentielle » : différence entre les versions

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=== Tangente remarquable ===
{{Propriété|contenu=
Au point <math>(a,\mathrm e^a)</math>, [[Fonction dérivée/Équation d'une tangente#|la tangente a pour équation]] <math>y=\mathrm e^a(1+x-a)</math>. En particulier au point <math>(0,1)</math>, la tangente a pour équation <math>y=1+x</math>.
| contenu =
Au point (0 ; 1), la tangente a pour équation <math>y=x+1</math>,
 
onOn peut donc donner une [[Fonction dérivée/Équation d'une tangente#Approximation affine d'une fonction dérivable en un point|approximation affine]] de exp au voisinage de 0 :
:<math>\mathrm e^x\approx 1approx1+x</math>}}.
}}
 
{{Démonstration déroulante|contenu=
<math>e^x\approx 1+x</math>}}
L'équation de la tangente au point d'abscisse <math>a</math> est
:<math>y=\exp(a)+\exp'(a)(x-a)</math>,
or
:<math>\exp'(a)=\exp'(a)=\mathrm e^a</math>.
}}
 
{{Propriété|contenu=
La courbe est au-dessus de toutes ses tangentes. En particulier :
:<math>\forall x\ne0\quad\mathrm e^x>1+x</math>.
}}
 
{{Démonstration déroulante|contenu=
Montrons d'abord que <math>\forall x\ne0\quad\mathrm e^x>1+x</math>, en étudiant la fonction <math>f:\R\to\R,\ x\mapsto\mathrm e^x-1-x</math>.
Le nombre dérivé de l'exponentielle en 0 vaut e⁰=1 et l'ordonnée à l’origine e⁰=1.
}}
 
<math>f'(x)=\mathrm e^x-1</math> est du signe de <math>x</math> (strictement) donc <math>f</math> a un minimum (strict) en <math>0</math>. Par conséquent, on a bien
 
<math>\forall x\ne0\quad f(x)>f(0)=0</math>, c'est-à-dire <math>\mathrm e^x>1+x</math>.
 
Par changement de variable, on en déduit que plus généralement,
 
<math>\forall t\ne a\quad\mathrm e^{t-a}>1+t-a</math>, c'est-à-dire <math>\mathrm e^t>\mathrm e^a(1+t-a)</math>.
}}
 
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