« Fonction exponentielle/Étude de la fonction exponentielle » : différence entre les versions

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la dérivabilité de exp définie comme bij réciproque de log est nécessairement admise, et le th qui le montrerait donnerait du même coup exp'=exp
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== Dérivée de la fonction exponentielle ==
{{Propriété|titre=Rappel
{{Théorème
| contenu=La dérivée de la fonction <math>f\exp:\R\to\R,\ x\mapsto\mathrm e^x</math> est elle-même :
:<math>f\forall x\in\R\quad\exp':(x)=\mapstomathrm e^x</math>.}}
 
Cette propriété est inhérente à la définition de <math>\exp</math> comme solution d'une équation différentielle (chap. 1). Nous avons admis (chap. 2) que cette définition de <math>\exp</math> est équivalente à celle à partir du logarithme.
 
{{Démonstration déroulante|titre=Démonstration (si l’on ne considère pas que cette propriété fait partie de la définition de exp)|contenu=
{{Prérequis|sujet= la fonction logarithme
| idfaculté = mathématiques|cours=Fonction logarithme}}
 
* Soit la fonction <math>u:x\mapsto e^x</math>, définie sur <math>\R</math>.
* On sait que pour tout <math>x\in\R,~\ln(e^x)=\ln(u(x))=x</math>.
* En dérivant chaque membre, pour tout <math>x\in\R,~\frac{u'(x)}{u(x)}=1</math>.
* Donc pour tout <math>x\in\R,~u'(x)=u(x)=e^x</math>}}
 
== Variations de la fonction exponentielle ==
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| contenu =
Pour tout <math>x\in\R,~\exp(x)>0</math>}}
 
 
{{Démonstration déroulante|contenu=