« Fonction logarithme/Étude de la fonction logarithme népérien » : différence entre les versions
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Ligne 20 :
En effet, <math>\forall x>0\quad\ln'(x)=\frac1x>0</math>.
== Courbe représentative ==▼
[[Fichier:Logarithme neperien.svg]]▼
== Étude du signe ==
<math>\begin{array}{c|ccccc|}
x&0&&1&&+\infty\\
Ligne 33 ⟶ 28 :
\end{array}
</math>
En effet, <math>\ln</math> est strictement croissante et s'annule en <math>1</math>.
Ligne 65 ⟶ 59 :
\end{array}
</math>}}
==Tangente remarquable==
{{Propriété|contenu=
Au point <math>(a,\ln a)</math>, [[Fonction dérivée/Équation d'une tangente#|la tangente a pour équation]] <math>y=\ln(a)+\frac1a(x-a)</math>. En particulier au point <math>(1,0)</math>, la tangente a pour équation <math>y=x-1</math>.
}}
{{Propriété|contenu=
La courbe est en dessous de toutes ses tangentes. En particulier :
:<math>\forall x>0\quad\ln x\le x-1</math>,
l'inégalité étant même stricte si <math>x\ne1</math>.
}}
{{Démonstration déroulante|contenu=
Montrons d'abord que <math>\forall x\ne1\quad\ln x<x-1</math>, en étudiant la fonction <math>f:\left]0,+\infty\right[\to\R,\ x\mapsto\ln x-x+1</math>.
<math>f'(x)=\frac1x-1=\frac{1-x}x</math> est (strictement) du signe de <math>1-x</math> donc <math>f</math> a un maximum (strict) en <math>1</math>. Par conséquent, on a bien
<math>\forall x\ne1\quad f(x)<f(1)=0</math>, c'est-à-dire <math>\ln x<x-1</math>.
Par changement de variable, on en déduit que plus généralement, pour tout <math>a>0</math>,
<math>\forall t\ne a\quad\ln\left(\frac ta\right)<\frac ta-1</math>, c'est-à-dire <math>\ln t<\ln(a)+\frac1a(t-a)</math>.
}}
▲== Courbe représentative ==
▲[[Fichier:Logarithme neperien.svg]]
===Le nombre e et l’équation ln(''x'') = 1===
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