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« Fonction logarithme/Croissances comparées » : différence entre les versions

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== Comparaison entre ln(''x'') et ''x'' en + ∞ ==
On a vu que la fonction '''ln''' est strictement croissante sur <math>\left]0;,+\infty\right[</math> et tend vers <math>+\infty</math> quand <math>x</math> tend vers <math>+\infty</math>, mais on va montrer qu’elle croît « lentement ». ▼
 
▲On a vu que la fonction '''ln''' est strictement croissante sur <math>]0;+\infty[</math> et tend vers <math>+\infty</math> quand x tend vers <math>+\infty</math>, mais qu’elle croît « lentement ».
 
Pour formaliser ceci, on étudie la limite :
Ligne 24 ⟶ 23 :
 
<center><math>\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(x)}x=0</math></center>}}
 
 
{{Démonstration déroulante|contenu=
On posesait que <math>f:x\mapstoforall t>0\frac{quad\ln(x)}x</math>, définiet\le sur <math>\R^{+*}t-1</math>.
On en déduit que
:Pour tout <math>x\in\R^{+*},~f'(x)=\frac{\frac1xx-\ln(x)}{x^2}=\frac{1-\ln(x)}{x^2}</math>
:<math>\forall x>0\quad\frac12\ln x=\ln{\sqrt x}\le\sqrt x-1</math>.
 
Par conséquent :
Or si <math>x > e</math>, <math>\ln(x)>1</math> donc cette dérivée est négative, donc la fonction ''f'' est décroissante.
:<math>\forall x\ge1\quad0\le\frac{\ln x}x\le2\frac{\sqrt x-1}x</math>.
 
On conclut grâce au [[Limites d'une fonction/Théorèmes sur les limites#Théorème des gendarmes|théorème des gendarmes]].
Il suffit donc d’en étudier les valeurs sur la suite géométrique des puissances de 2. Or :
}}
 
<center><math>\frac{\ln(2^n)}{2^n}=\frac{n\ln(2)}{2^n}</math></center>
 
qui tend vers 0 quand ''n'' tend vers <math>+\infty</math> car c’est le quotient d’une suite arithmétique de raison <math>\ln(2)</math> par une suite géométrique de raison 2.}}
 
=== Exemples ===
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