« Fonction exponentielle/Croissances comparées » : différence entre les versions

m
→‎Comparaison entre ex et x en + ∞ : mieux pour pas plus cher
m (→‎Comparaison entre ex et x en + ∞ : mieux pour pas plus cher)
 
== Comparaison entre e<sup>''x''</sup> et ''x'' en + ∞ ==
On a vu que la fonction ''exp'' est strictement croissante sur <math>\R</math> et tend vers <math>+\infty</math> quand ''x'' tend vers <math>+\infty</math>,. etOn qu’elleva montrer qu'elle croît « très vite », c'est-à-dire: àplus lavite vitesseque de<math>x^n</math>, lapour suitetout géométriqueentier (e<supmath>''n''</supmath>).
Pour formaliser cela, on étudie la limite <math>\lim_{x\to+\infty}\frac{\mathrm e^x}{x^n}</math>, qui est une forme indéterminée <math>\frac{\infty }{\infty}</math>.
 
{{Théorème
| titre=Croissances comparées en <math>+\infty</math>|contenu=
<center><math>\forall n\in\N\quad\lim_{x\to+\infty}\frac{\mathrm e^x}{x^n}=+\infty</math>.</center>
}}
 
{{Démonstration déroulante|contenu=
Pour tout entier naturel <math>n</math> et tout réel <math>x>0</math>,
 
<math>\sqrt[n+1]{\mathrm e^x}=\mathrm e^{\frac x2x{n+1}}\ge1+\frac x2x{n+1}>\frac x2x{n+1}</math> donc <math>\mathrm e^x>\left(\frac x2x{n+1}\right)^2=\frac{n+1}=C x^2{n+1}4</math> donc <math>\frac{\mathrm e^x}{x^n}>\frac x4Cx</math>.
 
OrPuisque <math>C>0</math>, <math>\lim_{x\to+\infty}\frac x4Cx=+\infty</math> donc par comparaison, <math>\lim_{x\to+\infty}\frac{\mathrm e^x}{x^n}=+\infty</math>.
 
(UnePour le cas <math>n=1</math>, autre méthode est proposée [[../Exercices/Croissances comparées|en exercice]].)
}}
 
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