« Fonction exponentielle/Croissances comparées » : différence entre les versions
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m →Comparaison entre ex et x en + ∞ : mieux pour pas plus cher |
→Application : simplif |
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Ligne 48 :
Déterminer les limites suivantes :
* <math>\lim_{x\to+\infty}\frac{\mathrm e^x}{\sqrt x}</math>▼
Quand <math>x\to+\infty</math>, <math>\frac{\mathrm e^x}{\sqrt x}=\frac{\mathrm e^x}x\frac x{\sqrt x}=\frac{\mathrm e^x}x\sqrt x\to+\infty\times+\infty=+\infty</math>.
}}▼
* <math>\lim_{x\to+\infty}\frac{\mathrm e^x}{x^2+1}</math>▼
{{Solution|contenu=
Quand <math>x\to+\infty</math>, <math>\frac{\mathrm e^x}{x^2+1}=\frac{\mathrm e^x}{x^2}\frac{x^2}{x^2+1}=\frac{\mathrm e^x}{x^2}\frac1{1+\frac1{x^2}}\to+\infty\times\frac1{1+0}=+\infty</math>.
}}▼
* <math>\lim_{x\to+\infty}\frac x{e^x}</math>
{{Solution|contenu=
Ligne 53 ⟶ 61 :
* Donc <math>\lim_{x\to+\infty}\frac x{e^x}=0</math>
}}
* <math>\lim_{x\to+\infty}(e^x-x)</math>
{{Solution|contenu=
Ligne 61 ⟶ 68 :
* Donc <math>\lim_{x\to+\infty}(e^x-x)=+\infty</math>
}}
* <math>\lim_{x\to+\infty}e^{-x}x^3</math>
{{Solution|contenu=Pour tout <math>x\in\R,~\sqrt[3]{e^{-x}x^3}=x~e^{-\frac x3}=-3\frac {-x}3 e^{-\frac x3}</math>.
Ligne 71 ⟶ 77 :
* Donc <math>\lim_{x\to+\infty}e^{-x}x^3=0</math>
}}
* <math>\lim_{x\to+\infty}\frac x{e^{(x^2)}}</math>
{{Solution|contenu=On pose <math>X=x^2</math>.
Ligne 78 ⟶ 83 :
* Donc <math>\lim_{x\to+\infty}\frac x{e^{(x^2)}}=0</math>.
}}
* <math>\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{e^x}}x</math>
{{Solution|contenu=
Ligne 86 ⟶ 90 :
* Donc <math>\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{e^x}}x=+\infty</math>
}}
* <math>\lim_{x\to-\infty}(x^2+1)e^x</math>
{{Solution|contenu=Pour tout <math>x\in\R</math>, on pose <math>X=-x</math>.
Ligne 100 ⟶ 103 :
* Donc <math>\lim_{x\to-\infty}(x^2+1)e^x=\lim_{X\to+\infty}\frac{X^2+1}{e^X}=0</math>
}}
* <math>\lim_{x\to+\infty}\sqrt{e^{-x}}x</math>
{{Solution|contenu=
Ligne 106 ⟶ 108 :
* On a montré plus haut que <math>\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{e^x}}x=+\infty</math>
* Donc <math>\lim_{x\to+\infty}\sqrt{e^{-x}}x=0</math>
▲}}
▲* <math>\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{x^2+1}</math>
▲{{Solution|contenu=Soit <math>x\in\R</math> :
▲}}
▲* <math>\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{\sqrt x}</math>
}}
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