« Fonction exponentielle/Croissances comparées » : différence entre les versions

ménage, dont exos transférés dans Fonction exponentielle/Exercices/Croissances comparées
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(ménage, dont exos transférés dans Fonction exponentielle/Exercices/Croissances comparées)
 
== Comparaison entre e<sup>''x''</sup> et ''x'' en - ∞ ==
On en déduit la limite <math>\lim_{x\to-\infty}x^n\mathrm e^x</math>, qui est une forme indéterminée <math>-\pm\infty \times 0^+ </math> .
 
{{Corollaire| Titretitre=Croissances comparées en <math>-\infty</math>|contenu=<math>\lim_{x\to-\infty}xe^x=0</math>}}
On a vu que la fonction ''exp'' est strictement croissante sur <math>\R</math> et tend vers 0 quand ''x'' tend vers <math>-\infty</math>, à la vitesse de la suite géométrique (e<sup>''-n''</sup>).
<center><math>\forall n\in\N\quad\lim_{x\to-\infty}xex^n\mathrm e^x=0</math>.</center>
 
}}
Pour formaliser, on étudie la limite :
<!--
 
<center><math>\lim_{x\to-\infty}xe^x</math></center>
 
qui est une forme indéterminée <math>-\infty \times 0^+ </math>
 
{{Théorème
| Titre=Croissances comparées en <math>-\infty</math>|contenu=<math>\lim_{x\to-\infty}xe^x=0</math>}}
Preuve:
<math>\lim\limits_{x\to-\infty} xe^x= \lim\limits_{x\to-\infty} \dfrac{x}{e^{-x}}= -\lim\limits_{x\to-\infty} \dfrac{-x}{e^{-x}}</math>
 
En posant <math>t=-x</math>, on a <math>-\lim\limits_{x\to-\infty} \dfrac{-x}{e^{-x}}= - \lim\limits_{t\to +\infty} \dfrac{t}{e^{t}}=- \lim\limits_{t\to +\infty} \dfrac{1}{\dfrac{e^t}{t}}=0</math>
-->
 
== Application ==
Déterminer les limites suivantes :
 
* <math>\lim_{x\to+\infty}\frac{\mathrm e^x}{\sqrt x}</math>
{{Solution|contenu=
Quand <math>x\to+\infty</math>, <math>\frac{\mathrm e^x}{\sqrt x}=\frac{\mathrm e^x}x\frac x{\sqrt x}=\frac{\mathrm e^x}x\sqrt x\to+\infty\times+\infty=+\infty</math>.
}}
* <math>\lim_{x\to+\infty}\frac{\mathrm e^x}{x^2+1}</math>
{{Solution|contenu=
Quand <math>x\to+\infty</math>, <math>\frac{\mathrm e^x}{x^2+1}=\frac{\mathrm e^x}{x^2}\frac{x^2}{x^2+1}=\frac{\mathrm e^x}{x^2}\frac1{1+\frac1{x^2}}\to+\infty\times\frac1{1+0}=+\infty</math>.
}}
* <math>\lim_{x\to+\infty}\frac x{e^x}</math>
{{Solution|contenu=
* <math>\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}x=+\infty</math>
* Donc <math>\lim_{x\to+\infty}\frac x{e^x}=0</math>
}}
* <math>\lim_{x\to+\infty}(e^x-x)</math>
{{Solution|contenu=
* Pour tout <math>x\in\R,~e^x-x=e^x\left(1-\frac x{e^x}\right)</math>
* Or, <math>\lim_{x\to+\infty}\frac x{e^x}=0</math>
* De plus, <math>\lim_{x\to+\infty}e^x=+\infty</math>
* Donc <math>\lim_{x\to+\infty}(e^x-x)=+\infty</math>
}}
* <math>\lim_{x\to+\infty}e^{-x}x^3</math>
{{Solution|contenu=Pour tout <math>x\in\R,~\sqrt[3]{e^{-x}x^3}=x~e^{-\frac x3}=-3\frac {-x}3 e^{-\frac x3}</math>.
* Pour tout <math>x\in\R</math>, on pose <math>X=-\frac x3</math>
* On a alors pour tout <math>x\in\R,~\sqrt[3]{e^{-x}x^3}=-3Xe^X</math>.
* On sait que <math>\lim_{X\to-\infty}Xe^X=0</math>
* Donc <math>\lim_{x\to+\infty}\sqrt[3]{e^{-x}x^3}=0</math>
* De plus, <math>\lim_{t\to0}t^3=0</math>
* Donc <math>\lim_{x\to+\infty}e^{-x}x^3=0</math>
}}
* <math>\lim_{x\to+\infty}\frac x{e^{(x^2)}}</math>
{{Solution|contenu=On pose <math>X=x^2</math>.
* Pour tout <math>x\in\R,~\frac x{e^{(x^2)}}=\frac{\sqrt X}{e^X}</math>
* On sait que <math>\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{\sqrt x}=+\infty</math>
* Donc <math>\lim_{x\to+\infty}\frac x{e^{(x^2)}}=0</math>.
}}
* <math>\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{e^x}}x</math>
{{Solution|contenu=
* Pour tout <math>x\in\R,~\frac{\sqrt{e^x}}x=\sqrt{\frac{e^x}{x^2}}</math>
* On a <math>\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{x^2}=+\infty</math>
* De plus, <math>\lim_{X\to+\infty}\sqrt X=+\infty</math>
* Donc <math>\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{e^x}}x=+\infty</math>
}}
* <math>\lim_{x\to-\infty}(x^2+1)e^x</math>
{{Solution|contenu=Pour tout <math>x\in\R</math>, on pose <math>X=-x</math>.
* Soit <math>x\in\R</math>.
* On a
<math>\begin{align}
(x^2+1)e^x&=((-X)^2+1)e^{-X}\\
&=\frac{X^2+1}{e^X}\\
&=\frac{X^2\left(\frac1{X^2}+1\right)}{e^X}
\end{align}</math>
* On sait que <math>\lim_{X\to+\infty}\frac{X^2}{e^X}=0</math>
* et que <math>\lim_{X\to+\infty}\frac1{X^2}+1=1</math>
* Donc <math>\lim_{x\to-\infty}(x^2+1)e^x=\lim_{X\to+\infty}\frac{X^2+1}{e^X}=0</math>
}}
* <math>\lim_{x\to+\infty}\sqrt{e^{-x}}x</math>
{{Solution|contenu=
* Pour tout <math>x\in\R,~\sqrt{e^{-x}}x=\frac x{\sqrt{e^x}}</math>
* On a montré plus haut que <math>\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{e^x}}x=+\infty</math>
* Donc <math>\lim_{x\to+\infty}\sqrt{e^{-x}}x=0</math>
}}
 
== Extension aux puissances de x ==
 
{{Théorème
| titre=
Pour tout entier naturel ''n'' non nul|contenu=<math>\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{x^n}=+\infty</math>}}
 
<br />​
 
{{Théorème
| Titre=Pour tout entier naturel ''n'' non nul|contenu=<math>\lim_{x\to-\infty}x^n.e^x=0</math>}}
 
 
 
== En résumé ==
Quand on a une forme indéterminée impliquantproduit ou quotient d'une exponentielle et d'un polynôme, c’est toujours l’exponentielle qui « l’emporte ».
 
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