« Fonction exponentielle/Croissances comparées » : différence entre les versions
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ménage, dont exos transférés dans Fonction exponentielle/Exercices/Croissances comparées |
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}}
{{Clr}}
== Comparaison entre e<sup>''x''</sup> et ''x'' en + ∞ ==
On a vu que la fonction
Pour formaliser cela, on étudie la limite <math>\lim_{x\to+\infty}\frac{\mathrm e^x}{x^n}</math>, qui est une forme indéterminée <math>\frac{+\infty
{{Théorème
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<center><math>\forall n\in\N\quad\lim_{x\to-\infty}x^n\mathrm e^x=0</math>.</center>
}}
{{Démonstration déroulante|contenu=
Qand <math>x\to-\infty</math>, <math>y:=-x\to+\infty</math> donc <math>\left|x^n\mathrm e^x\right|=\frac{y^n}{\mathrm e^y}=1\left/\frac{\mathrm e^y}{y^n}\right.\to1\left/+\infty\right.=0^+</math>.
}}
== En résumé ==
Quand on a une forme indéterminée produit ou quotient d'une exponentielle et d'un polynôme, c’est toujours l’exponentielle qui « l’emporte ».
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