« Fonction exponentielle/Croissances comparées » : différence entre les versions

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(ménage, dont exos transférés dans Fonction exponentielle/Exercices/Croissances comparées)
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{{Clr}}
== Comparaison entre e<sup>''x''</sup> et ''x'' en + ∞ ==
On a vu que la fonction ''<math>\exp''</math> est strictement croissante sur <math>\R</math>. etOn va montrer que quand <math>x</math> tend vers <math>+\infty</math>, quand<math>\mathrm ''e^x''</math> tend vers <math>+\infty</math>. On va montrer qu'elle croît « très vite » : plus vite que <math>x^n</math>, pour tout entier <math>n</math>.
Pour formaliser cela, on étudie la limite <math>\lim_{x\to+\infty}\frac{\mathrm e^x}{x^n}</math>, qui est une forme indéterminée <math>\frac{+\infty }{+\infty}</math>.
 
{{Théorème
<center><math>\forall n\in\N\quad\lim_{x\to-\infty}x^n\mathrm e^x=0</math>.</center>
}}
<!--
Preuve:
<math>\lim\limits_{x\to-\infty} xe^x= \lim\limits_{x\to-\infty} \dfrac{x}{e^{-x}}= -\lim\limits_{x\to-\infty} \dfrac{-x}{e^{-x}}</math>
 
{{Démonstration déroulante|contenu=
En posant <math>t=-x</math>, on a <math>-\lim\limits_{x\to-\infty} \dfrac{-x}{e^{-x}}= - \lim\limits_{t\to +\infty} \dfrac{t}{e^{t}}=- \lim\limits_{t\to +\infty} \dfrac{1}{\dfrac{e^t}{t}}=0</math>
Qand <math>x\to-\infty</math>, <math>y:=-x\to+\infty</math> donc <math>\left|x^n\mathrm e^x\right|=\frac{y^n}{\mathrm e^y}=1\left/\frac{\mathrm e^y}{y^n}\right.\to1\left/+\infty\right.=0^+</math>.
-->
}}
 
== En résumé ==
Quand on a une forme indéterminée produit ou quotient d'une exponentielle et d'un polynôme, c’est toujours l’exponentielle qui « l’emporte ».
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